Dados o espaço V e seus subespaços W1, W2, W3, determine V=W1 oplus W2 oplus W3.
V=R^4, W1=(x, y, z, w) in R^4 mid x-y+w=0,4 x-2 y+3 z=0,
W2=>=r[c 1 -1 -1 -1 ] e W3=>=r[c 2 0 -1 -1 ]

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
V = R^4 = W1oplus W2oplus W3,
onde
W1=(x,y,z,w)inR^4mid x - y + w = 0,;4x - 2y + 3z = 0,
W2=span(1,-1,-1,-1), W3=span(2,0,-1,-1)
O conteúdo necessário é teoria de soma direta de subespaços: devemos encontrar uma base de cada subespaço, verificar que a soma das dimensões é dim V = 4 e checar que a união das bases é linearmente independente.

Passo 2

Vamos achar uma base de W1. As equações de W1 são
x - y + w = 0, 4x -2y +3z = 0
Da primeira, x = y - w. Substituindo na segunda:
4(y - w) -2y +3z = 0 ;Longrightarrow; 2y -4w +3z = 0 ;Longrightarrow; y = 4w -3z2
Logo
x = y - w = 4w -3z2 - w = 2w -3z2
Em coordenadas,
(x,y,z,w) = zl(-tfrac32,-tfrac32,1,0r) + wl(1,2,0,1r)
Multiplicando por 2 para evitar frações, podemos tomar como base de W1 os vetores
u1 = (-3,-3,2,0), u2 = (2,4,0,2)

Passo 3

As dimensões são
dim W1 = 2, dim W2 = 1, dim W3 = 1
Como dim V = 4 e
2 + 1 + 1 = 4,
a soma direta só pode falhar se houver dependência entre as bases. Vamos mostrar que não há.

Passo 4

Considere a combinação linear nula
alpha,u1 + beta,u2 + gamma,(1,-1,-1,-1) + de<a,(2,0,-1,-1) = (0,0,0,0)
Escrevendo coordenada a coordenada obtemos o sistema
-3alpha + 2beta + gamma + 2de<a = 0, -3alpha + 4beta - gamma = 0, 2alpha ;;- gamma - de<a = 0, ;2beta - gamma - de<a = 0
Dessas equações segue-se passo a passo
beta = alpha, de<a = alpha, gamma = alpha,
e então a primeira equação dá
2alpha = 0 ;Longrightarrow; alpha=0 ;Longrightarrow; beta=gamma=de<a=0
Isso mostra que u1,u2,(1,-1,-1,-1),(2,0,-1,-1) é independente.

Resposta

Como dim W1+dim W2+dim W3=4=dim V e as bases unidas são independentes, concluímos
V = W1oplus W2oplus W3

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