Considere um dado equipamento que é constituído por 10 transístores dos quais dois são defeituosos. Suponha que dois tarnsístores são selecionados ao acaso, sem reposição.
Escreva o espaço de resultados correspondente a esta experiência aleatória.
Calcule a probabilidade dos seguintes acontecimentos:
A1 - Saír um transístor defeituoso na 1^a tiragem.
A2 - Saír um transístor defeituoso na 2^a tiragem.
A3 - Saír pelo menos um transístor defeituoso.
A4 - Saír exactamente um transístor defeituoso.

Passo 1

Resumo da questão: temos um equipamento com 10 transístores, 2 defeituosos e 8 bons. Selecionamos 2 transístores ao acaso, sem reposição, e queremos:
  1. escrever o espaço amostral (todos os resultados possíveis, considerando ordem),
  2. calcular as probabilidades de quatro eventos:
    • A1: sair defeituoso na 1ª tiragem;
    • A2: sair defeituoso na 2ª tiragem;
    • A3: sair pelo menos um defeituoso;
    • A4: sair exatamente um defeituoso.
Conteúdo da matéria: Probabilidade clássica, espaço amostral, contagem de casos (princípio multiplicativo e combinações), probabilidade condicionada e complemento. Vamos usar noções básicas de contagem e fórmula P(E)=#E#S.

Passo 2

Construindo o espaço amostral S. Denotamos cada transístor por um rótulo, por exemplo D1,D2 para os defeituosos e G1,dots,G8 para os bons. Como a ordem importa (1ª e 2ª tiragem),
S = (X,Y): X,YinD1,D2,G1,dots,G8,;Xneq Y
O número total de elementos de S é
|S| = 10 times 9 = 90

Passo 3

Evento A1: “defeituoso na 1ª tiragem”. Aqui só nos importa o primeiro elemento ser D1 ou D2. Há 2 escolhas para o defeituoso na 1ª tiragem e, em seguida, 9 escolhas quaisquer para a 2ª. Logo
|A1| = 2times 9 = 18 Longrightarrow P(A1) = 1890 = 15
Intuitivamente, é só 2/10.

Passo 4

Evento A2: “defeituoso na 2ª tiragem”. Apesar de não ser óbvio à primeira vista, por simetria (ou usando a lei total):
  • Se o primeiro foi defeituoso (prob.\ 2/10), sobram 1 defeituoso em 9, daí condicional 1/9.
  • Se o primeiro foi bom (prob.\ 8/10), sobram 2 defeituosos em 9, daí condicional 2/9.
Assim
P(A2) = 210cdot19 ;+;810cdot29 = 290 + 1690 = 1890 = 15

Passo 5

Evento A3: “pelo menos um defeituoso”. É mais fácil usar o complementar: “nenhum defeituoso”.
  • “Nenhum defeituoso” significa escolher 2 bons em 2 tiragens sem reposição. Logo P(0 defeituosos) = binom82binom102 = 2845
  • Então P(A3) = 1 - P(0 defeituosos) = 1 - 2845 = 1745

Passo 6

Evento A4: “exatamente um defeituoso”. Usamos combinação (hipergeométrica):
P(1 defeituoso) = binom21,binom81binom102 = 2cdot845 = 1645

Resposta

Espaço amostral:
S=(X,Y):X,YinD1,D2,G1,dots,G8,Xneq Y, |S|=90.
Probabilidades:
P(A1)=1/5, P(A2)=1/5, P(A3)=17/45, P(A4)=16/45.

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