Considere V=R^4, W1=(x, y, z, w) in R^4 mid x+3 y-w=0, x+y+z-w=0, W2=(x, y, z, w) in R^4 mid x-2 y+z+w=0, x+z=0 e T in L(V) dado como
T(x, y, z, w)=[c x+y -3 x-2 y-2 z+2 w x+5 y+2 z-3 w -5 x-2 y-3 z+3 w ]
Mostre que W1 e W2 são T-invariantes

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que W1 e W2 são T-invariantes em V=R^4. Lembrando que um subespaço Wsubset V é T-invariante se, para todo vin W, temos T(v)in W. Para cada subespaço usaremos as equações que o definem e veremos que T(x,y,z,w) também as satisfaz.

Passo 2

Verificação para W1: seja (x,y,z,w)in W1, ou seja,
x+3y-w=0,
x+y+z-w=0
Calculamos
T(x,y,z,w) =(x+y,,-3x-2y-2z+2w,;x+5y+2z-3w,;-5x-2y-3z+3w) =(x',y',z',w')
Então
x'+3y'-w' =(x+y)+3(-3x-2y-2z+2w)-l(-5x-2y-3z+3wr) =-3(x+y+z-w)=0,
x'+y'+z'-w' =(x+y)+(-3x-2y-2z+2w)+(x+5y+2z-3w)-l(-5x-2y-3z+3wr) =x+3y-w=0
Logo T(x,y,z,w) satisfaz as duas equações que definem W1, e W1 é T-invariante.

Passo 3

Verificação para W2: seja (x,y,z,w)in W2, ou seja,
x-2y+z+w=0,
x+z=0
Com T(x,y,z,w)=(x',y',z',w') como acima, temos
x'+z' =(x+y)+(x+5y+2z-3w) =2x+6y+2z-3w =-3(x-2y+z+w)=0,
x'-2y'+z'+w' =(x+y)-2(-3x-2y-2z+2w)+(x+5y+2z-3w)+(-5x-2y-3z+3w) =3x+8y+3z-4w =4(-2y+w)=0
Assim T(x,y,z,w) satisfaz as duas equações de W2, e W2 é T-invariante.

Resposta

W1 e W2 são T-invariantes.

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