Considere a quádrica S: x^2+y^2+z^2-6 x+4 y+9=0 e o plano pi: x=3.
(a) (1,0 ponto) Encontre a equação reduzidda de S e Identifique-a.
(b) (1,0 ponto) Determine a interseção de S com pi.

Passo 1

O enunciado nos dá a quádrica
x^2+y^2+z^2-6x+4y+9=0
e o plano pi: x=3.
O conteúdo é redução de quádricas por completamento de quadrado e interseção com plano.

Passo 2

Para reduzir S, completamos quadrados em x e y:
x^2-6x=(x-3)^2-9, y^2+4y=(y+2)^2-4
Substituindo em S:
(x-3)^2-9;+;(y+2)^2-4;+;z^2;+;9=0
implies (x-3)^2+(y+2)^2+z^2-4=0
implies (x-3)^2+(y+2)^2+z^2=4

Passo 3

A forma reduzida
(x-3)^2+(y+2)^2+z^2=2^2
é a equação de uma esfera de centro C=(3,-2,0) e raio 2.

Passo 4

Para a interseção com o plano x=3, basta pôr x=3 na forma reduzida:
(3-3)^2+(y+2)^2+z^2=4 Longrightarrow (y+2)^2+z^2=4
Isto é uma circunferência de centro (3,-2,0) e raio 2, contida no plano x=3.

Resposta

(a) ,(x-3)^2+(y+2)^2+z^2=4, esfera de centro (3,-2,0) e raio 2.
(b) ,x=3,;(y+2)^2+z^2=4, circunferência de centro (3,-2,0) e raio 2.

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