Considere os dados obtidos pelas medidas das alturas de 64 alunos (dados em cm).
162
163
148
166
169
154
170
166
164
165
159
175
155
163
171
172
170
157
176
157
157
165
158
158
160
158
163
165
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181
168
165
163
182
182
180
177
175
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162
180
156
169
174
178
176
163
161
182
152
a) Construa uma distribuição de frequências, determinando os pontos médios, as frequências absolutas, relativas, acumuladas e acumuladas relativas de cada classe.
b) Com os dados agrupados em classes calcule a média, moda, mediana, variância, desvio padrão e erro padrão da média.
c) Quantos alunos têm estatura de 158 \mid-173 ?
d) Qual a porcentagem dos alunos que medem menos de 173 cm ?
e) Qual a porcentagem dos alunos que medem 163 \mid-178 ?
f) Qual a porcentagem dos alunos que medem no mínimo 163 cm ?
g) Qual a classe de estatura do 6^{\underline{\mathrm{O}}} aluno?
h) Qual a classe de estatura do 21^{\mathrm{O}} aluno?
Passo 1
O enunciado traz as alturas (em cm) de 64 alunos (lista abaixo) e pede várias análises agrupadas em classes:
Resumo do que o exercício pede:
a) Construir uma distribuição de frequências (classes, pontos médios, f_i, f_{i,rel}, F_i, F_{i,rel}).
b) Com os dados agrupados em classes calcular média, moda, mediana, variância, desvio padrão e erro padrão da média.
c) Número de alunos com estatura entre 158 e 173 (interpreto como inclusivo).
d) Porcentagem com menos de 173 cm.
e) Porcentagem com estatura entre 163 e 178 (interpretado inclusivo).
f) Porcentagem com pelo menos 163 cm (ou seja \ge 163).
g) Em que classe está o 6^\text{o} aluno (quando ordenados).
h) Em que classe está o 21^\text{o} aluno (quando ordenados).
Informações relevantes extraídas dos dados: número total de observações n=64. O menor valor é 148 e o maior é 182 (portanto amplitude 182-148=34).
Passo 2
Escolha das classes (explicação e construção da tabela). Vou usar a regra de Sturges para determinar número de classes:
k \approx 1+\log_2 n = 1+\log_2 64 = 1+6 = 7.
Assim escolho 7 classes. A amplitude total é 34, então largura aproximada
h \approx \frac{34}{7}\approx 4{,}86,
ou seja escolho h=5 (valor prático inteiro). Começo em 148 e faço classes de largura 5 cobrindo todo o intervalo até 182. As classes escolhidas (como intervalos de valores inteiros) são:
Ponto médio de cada classe é a média aritmética dos limites da classe. Contando as observações (usei a contagem direta dos dados originais) obtenho a seguinte distribuição:
Interpretação curta: com agrupamento por classes, a média aproximada é \bar{x}\approx 166{,}71875 cm.
Passo 4
Cálculo da moda (usando fórmula para dados agrupados). Primeiro identifique a classe modal: é a classe com maior frequência absoluta. Aqui f_4=17 (classe [163,167]) é a maior, então a classe modal é [163,167].
Para dados agrupados, a moda estimada usa a fórmula (assumindo classes contínuas com limites ajustados):
Cálculo da mediana com dados agrupados. A mediana é o valor correspondente à posição n/2. Aqui n/2=32, então precisamos da classe que contém a 32ª observação. Pela frequência acumulada, a 32ª observação está na classe [163,167] (cumulativa antes dessa classe é 19 e depois é 36). Fórmula para mediana em dados agrupados:
Somando dá 38 alunos. (Observação: o valor 167 não aparece na amostra.)
Passo 8
Item (d): porcentagem dos alunos que medem menos de 173 cm. "Menos de 173" = estritamente <173, ou seja até 172.
Número com <173 é 37 (todos os do item anterior menos o que mede exatamente 173). Percentual:
\frac{37}{64}=0{,}578125 = 57{,}8125\%.
Passo 9
Item (e): porcentagem dos alunos que medem entre 163 e 178 (interpreto inclusivo). Some as frequências dos valores 163,164,\dots,178. Fiz essa soma e obtive 37 alunos. Percentual:
\frac{37}{64}=0{,}578125 = 57{,}8125\%.
Passo 10
Item (f): porcentagem dos alunos que medem no mínimo 163 cm (ou seja \ge 163). Número de alunos com \ge163 é 64 - (número com \le162). Contando os \le162 obtive 19 alunos, então \ge163 são 45 alunos. Percentual:
\frac{45}{64}=0{,}703125 = 70{,}3125\%.
Passo 11
Item (g): classe de estatura do 6^\text{o} aluno na ordenação ascendente. Para isso usamos as frequências acumuladas por classe:
depois da 1ª classe temos F_1=4 observações (índices 1 a 4),
depois da 2ª classe temos F_2=10 observações (índices 5 a 10).
Portanto o 6^\text{o} aluno (posição 6) está na 2ª classe, que é [153,157].
Passo 12
Item (h): classe de estatura do 21^\text{o} aluno na ordenação ascendente. Observando F_3=19 (índices 11 a 19) e F_4=36 (índices 20 a 36), vemos que a posição 21 está na 4ª classe, ou seja [163,167].
b) Média \bar{x}=166{,}71875 cm. Moda (estimada por classes) \approx 165{,}35714 cm. Mediana (estimada por classes) \approx 166{,}32353 cm. Variância amostral s^2\approx 75{,}5703 (cm^2). Desvio padrão s\approx 8{,}6928 cm. Erro padrão da média \approx 1{,}0866 cm.
c) 38 alunos.
d) 37 alunos \Rightarrow 57{,}8125\%.
e) 37 alunos \Rightarrow 57{,}8125\%.
f) 45 alunos \Rightarrow 70{,}3125\%.
g) O 6^\text{o} aluno (na ordenação) está na classe [153,157].
h) O 21^\text{o} aluno (na ordenação) está na classe [163,167].