Considere os dados obtidos pelas medidas das alturas de 64 alunos (dados em cm).
162 163 148 166 169 154 170 166
164 165 159 175 155 163 171 172
170 157 176 157 157 165 158 158
160 158 163 165 164 178 150 168
166 169 152 170 172 165 162 164
179 182 181 168 165 163 182 182
180 177 175 164 173 162 180 156
169 174 178 176 163 161 182 152
a) Construa uma distribuição de frequências, determinando os pontos médios, as frequências absolutas, relativas, acumuladas e acumuladas relativas de cada classe.
b) Com os dados agrupados em classes calcule a média, moda, mediana, variância, desvio padrão e erro padrão da média.
c) Quantos alunos têm estatura de 158 \mid-173 ?
d) Qual a porcentagem dos alunos que medem menos de 173 cm ?
e) Qual a porcentagem dos alunos que medem 163 \mid-178 ?
f) Qual a porcentagem dos alunos que medem no mínimo 163 cm ?
g) Qual a classe de estatura do 6^{\underline{\mathrm{O}}} aluno?
h) Qual a classe de estatura do 21^{\mathrm{O}} aluno?

Passo 1

O enunciado traz as alturas (em cm) de 64 alunos (lista abaixo) e pede várias análises agrupadas em classes:
\begin{array}{llllllll} 162 & 163 & 148 & 166 & 169 & 154 & 170 & 166\\\\ 164 & 165 & 159 & 175 & 155 & 163 & 171 & 172\\\\ 170 & 157 & 176 & 157 & 157 & 165 & 158 & 158\\\\ 160 & 158 & 163 & 165 & 164 & 178 & 150 & 168\\\\ 166 & 169 & 152 & 170 & 172 & 165 & 162 & 164\\\\ 179 & 182 & 181 & 168 & 165 & 163 & 182 & 182\\\\ 180 & 177 & 175 & 164 & 173 & 162 & 180 & 156\\\\ 169 & 174 & 178 & 176 & 163 & 161 & 182 & 152 \end{array}
Resumo do que o exercício pede:
a) Construir uma distribuição de frequências (classes, pontos médios, f_i, f_{i,rel}, F_i, F_{i,rel}).
b) Com os dados agrupados em classes calcular média, moda, mediana, variância, desvio padrão e erro padrão da média.
c) Número de alunos com estatura entre 158 e 173 (interpreto como inclusivo).
d) Porcentagem com menos de 173 cm.
e) Porcentagem com estatura entre 163 e 178 (interpretado inclusivo).
f) Porcentagem com pelo menos 163 cm (ou seja \ge 163).
g) Em que classe está o 6^\text{o} aluno (quando ordenados).
h) Em que classe está o 21^\text{o} aluno (quando ordenados).
Informações relevantes extraídas dos dados: número total de observações n=64. O menor valor é 148 e o maior é 182 (portanto amplitude 182-148=34).

Passo 2

Escolha das classes (explicação e construção da tabela). Vou usar a regra de Sturges para determinar número de classes:
k \approx 1+\log_2 n = 1+\log_2 64 = 1+6 = 7.
Assim escolho 7 classes. A amplitude total é 34, então largura aproximada
h \approx \frac{34}{7}\approx 4{,}86,
ou seja escolho h=5 (valor prático inteiro). Começo em 148 e faço classes de largura 5 cobrindo todo o intervalo até 182. As classes escolhidas (como intervalos de valores inteiros) são:
[148,152],\\ [153,157],\\ [158,162],\\ [163,167],\\ [168,172],\\ [173,177],\\ [178,182].
Ponto médio de cada classe é a média aritmética dos limites da classe. Contando as observações (usei a contagem direta dos dados originais) obtenho a seguinte distribuição:
Classe, ponto médio x_i, frequência absoluta f_i, frequência relativa f_{i,rel}=f_i/64, frequência acumulada F_i, frequência acumulada relativa F_{i,rel}:
  • Classe [148,152]: x_1=150, f_1=4, f_{1,rel}=\dfrac{4}{64}=0{,}0625, F_1=4, F_{1,rel}=0{,}0625.
  • Classe [153,157]: x_2=155, f_2=6, f_{2,rel}=\dfrac{6}{64}=0{,}09375, F_2=10, F_{2,rel}=0{,}15625.
  • Classe [158,162]: x_3=160, f_3=9, f_{3,rel}=\dfrac{9}{64}=0{,}140625, F_3=19, F_{3,rel}=0{,}296875.
  • Classe [163,167]: x_4=165, f_4=17, f_{4,rel}=\dfrac{17}{64}=0{,}265625, F_4=36, F_{4,rel}=0{,}5625.
  • Classe [168,172]: x_5=170, f_5=11, f_{5,rel}=\dfrac{11}{64}=0{,}171875, F_5=47, F_{5,rel}=0{,}734375.
  • Classe [173,177]: x_6=175, f_6=7, f_{6,rel}=\dfrac{7}{64}=0{,}109375, F_6=54, F_{6,rel}=0{,}84375.
  • Classe [178,182]: x_7=180, f_7=10, f_{7,rel}=\dfrac{10}{64}=0{,}15625, F_7=64, F_{7,rel}=1{,}0.
Confirmação: \sum f_i=64 e \sum f_{i,rel}=1.

Passo 3

Cálculo da média aritmética com dados agrupados. Fórmula para média com classes (usando pontos médios):
\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^k f_i x_i}{n}.
Calculo dos produtos f_i x_i:
\begin{aligned} 4\cdot150&=600,\\\\ 6\cdot155&=930,\\\\ 9\cdot160&=1440,\\\\ 17\cdot165&=2805,\\\\ 11\cdot170&=1870,\\\\ 7\cdot175&=1225,\\\\ 10\cdot180&=1800. \end{aligned}
Soma: \sum f_i x_i = 10670. Logo
\bar{x} = \frac{10670}{64} = 166{,}71875\\ \text{cm}.
Interpretação curta: com agrupamento por classes, a média aproximada é \bar{x}\approx 166{,}71875 cm.

Passo 4

Cálculo da moda (usando fórmula para dados agrupados). Primeiro identifique a classe modal: é a classe com maior frequência absoluta. Aqui f_4=17 (classe [163,167]) é a maior, então a classe modal é [163,167].
Para dados agrupados, a moda estimada usa a fórmula (assumindo classes contínuas com limites ajustados):
\text{moda} = L_m + \frac{f_m - f_{m-1}}{2f_m - f_{m-1} - f_{m+1}}\cdot h,
onde
  • L_m é o limite inferior da classe modal em termos contínuos (para a classe [163,167] o limite inferior contínuo é 162{,}5),
  • f_m é a frequência da classe modal ( 17),
  • f_{m-1} é a frequência da classe anterior ( f_3=9),
  • f_{m+1} é a frequência da classe seguinte ( f_5=11),
  • h é a largura da classe ( h=5).
Aplicando:
\text{moda} = 162{,}5 + \frac{17-9}{2\cdot17-9-11}\cdot 5 =162{,}5 + \frac{8}{34-20}\cdot5 =162{,}5 + \frac{8}{14}\cdot5 =162{,}5 + \frac{4}{7}\cdot5 =162{,}5 + \frac{20}{7} \approx 165{,}35714\\ \text{cm}.

Passo 5

Cálculo da mediana com dados agrupados. A mediana é o valor correspondente à posição n/2. Aqui n/2=32, então precisamos da classe que contém a 32ª observação. Pela frequência acumulada, a 32ª observação está na classe [163,167] (cumulativa antes dessa classe é 19 e depois é 36). Fórmula para mediana em dados agrupados:
\text{mediana} = L_{med} + \frac{\frac{n}{2} - F_{b}}{f_{med}}\cdot h,
onde
  • L_{med} limite inferior contínuo da classe mediana (aqui 162{,}5),
  • F_b frequência acumulada antes da classe mediana (aqui F_b=19),
  • f_{med} frequência da classe mediana (aqui 17),
  • h=5.
Aplicando:
\text{mediana}=162{,}5 + \frac{32-19}{17}\cdot5 =162{,}5 + \frac{13}{17}\cdot5 =162{,}5 + \frac{65}{17} \approx 166{,}32353\\ \text{cm}.

Passo 6

Cálculo da variância amostral, desvio padrão e erro padrão da média a partir dos dados agrupados.
Método usado: calcular \sum f_i x_i^2 com os pontos médios x_i, usar a identidade
S_{xx} = \sum f_i x_i^2 - n\bar{x}^2,
e então a variância amostral (não viesada) é
s^2 = \frac{S_{xx}}{n-1}.
Calculei x_i^2 e f_i x_i^2:
\begin{aligned} 150^2\cdot4 &=22500\cdot4=90000,\\\\ 155^2\cdot6 &=24025\cdot6=144150,\\\\ 160^2\cdot9 &=25600\cdot9=230400,\\\\ 165^2\cdot17&=27225\cdot17=462825,\\\\ 170^2\cdot11&=28900\cdot11=317900,\\\\ 175^2\cdot7 &=30625\cdot7=214375,\\\\ 180^2\cdot10&=32400\cdot10=324000. \end{aligned}
Soma: \sum f_i x_i^2 = 1\,783\,650.
Já temos n\bar{x}^2 = 64\cdot(166{,}71875)^2. Calculei (166{,}71875)^2 = 27795{,}1416015625 (aprox) e
n\bar{x}^2 = 64\cdot27795{,}1416015625 = 1\,778\,889{,}0625.
Então
S_{xx} = 1\,783\,650 - 1\,778\,889{,}0625 = 4\,760{,}9375.
Variância amostral:
s^2 = \frac{4\,760{,}9375}{n-1}=\frac{4\,760{,}9375}{63}\approx 75{,}57027778.
Desvio padrão amostral:
s=\sqrt{s^2}\approx \sqrt{75{,}57027778}\approx 8{,}69276\\ \text{cm}.
Erro padrão da média (estimativa do erro da média amostral):
\text{erro padrão} = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{8{,}69276}{\sqrt{64}} = \frac{8{,}69276}{8}\approx 1{,}086595\\ \text{cm}.ã
Arredondamentos usuais: s^2\approx 75{,}5703, s\approx 8{,}6928, erro padrão \approx 1{,}0866.

Passo 7

Item (c): quantos alunos têm estatura de 158 a 173 (interpretação inclusiva). Vou somar as frequências dos valores inteiros 158,159,\dots,173.
Usando as frequências individuais (contadas diretamente nos dados):
158(3)+159(1)+160(1)+161(1)+162(3)+163(5)+164(4)+165(5)+166(3)+168(2)+169(3)+170(3)+171(1)+172(2)+173(1).
Somando dá 38 alunos. (Observação: o valor 167 não aparece na amostra.)

Passo 8

Item (d): porcentagem dos alunos que medem menos de 173 cm. "Menos de 173" = estritamente <173, ou seja até 172.
Número com <173 é 37 (todos os do item anterior menos o que mede exatamente 173). Percentual:
\frac{37}{64}=0{,}578125 = 57{,}8125\%.

Passo 9

Item (e): porcentagem dos alunos que medem entre 163 e 178 (interpreto inclusivo). Some as frequências dos valores 163,164,\dots,178. Fiz essa soma e obtive 37 alunos. Percentual:
\frac{37}{64}=0{,}578125 = 57{,}8125\%.

Passo 10

Item (f): porcentagem dos alunos que medem no mínimo 163 cm (ou seja \ge 163). Número de alunos com \ge163 é 64 - (número com \le162). Contando os \le162 obtive 19 alunos, então \ge163 são 45 alunos. Percentual:
\frac{45}{64}=0{,}703125 = 70{,}3125\%.

Passo 11

Item (g): classe de estatura do 6^\text{o} aluno na ordenação ascendente. Para isso usamos as frequências acumuladas por classe:
  • depois da 1ª classe temos F_1=4 observações (índices 1 a 4),
  • depois da 2ª classe temos F_2=10 observações (índices 5 a 10).
    Portanto o 6^\text{o} aluno (posição 6) está na 2ª classe, que é [153,157].

Passo 12

Item (h): classe de estatura do 21^\text{o} aluno na ordenação ascendente. Observando F_3=19 (índices 11 a 19) e F_4=36 (índices 20 a 36), vemos que a posição 21 está na 4ª classe, ou seja [163,167].

Resposta

a) Distribuição por classes:
[148,152],\\ x=150,\\ f=4,\\ f_{rel}=0{,}0625,\\ F=4,\\ F_{rel}=0{,}0625
[153,157],\\ x=155,\\ f=6,\\ f_{rel}=0{,}09375,\\ F=10,\\ F_{rel}=0{,}15625
[158,162],\\ x=160,\\ f=9,\\ f_{rel}=0{,}140625,\\ F=19,\\ F_{rel}=0{,}296875
[163,167],\\ x=165,\\ f=17,\\ f_{rel}=0{,}265625,\\ F=36,\\ F_{rel}=0{,}5625
[168,172],\\ x=170,\\ f=11,\\ f_{rel}=0{,}171875,\\ F=47,\\ F_{rel}=0{,}734375
[173,177],\\ x=175,\\ f=7,\\ f_{rel}=0{,}109375,\\ F=54,\\ F_{rel}=0{,}84375
[178,182],\\ x=180,\\ f=10,\\ f_{rel}=0{,}15625,\\ F=64,\\ F_{rel}=1{,}0
b) Média \bar{x}=166{,}71875 cm. Moda (estimada por classes) \approx 165{,}35714 cm. Mediana (estimada por classes) \approx 166{,}32353 cm. Variância amostral s^2\approx 75{,}5703 (cm ^2). Desvio padrão s\approx 8{,}6928 cm. Erro padrão da média \approx 1{,}0866 cm.
c) 38 alunos.
d) 37 alunos \Rightarrow 57{,}8125\%.
e) 37 alunos \Rightarrow 57{,}8125\%.
f) 45 alunos \Rightarrow 70{,}3125\%.
g) O 6^\text{o} aluno (na ordenação) está na classe [153,157].
h) O 21^\text{o} aluno (na ordenação) está na classe [163,167].

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