Um pesquisador coletou os seguintes dados sobre a altura (em cm) de 20 pessoas: 160, 162, 161,158,167,165,170,168,162,166,161,160,162,165,169,170,158,162,164,163. Construa a tabela de distribuição de frequências de classes e calcule a média e o desvio padrão. (Use: \log _{10}(20)=1,301 )

Passo 1

O enunciado dá uma amostra com n=20 alturas (em cm), listadas assim:
160,\;162,\;161,\;158,\;167,\;165,\;170,\;168,\;162,\;166,\;161,\;160,\;162,\;165,\;169,\;170,\;158,\;162,\;164,\;163.
O que se pede:
  1. Construir a tabela de distribuição de frequências por classes.
  2. Calcular a média e o desvio padrão da amostra.
Informações importantes extraídas do enunciado:
n=20,\qquad \log_{10}(20)=1,301.

Passo 2

Decidindo o número de classes usando a regra de Sturges. A fórmula de Sturges é
k = 1 + 3{,}322\,\log_{10}(n).
Substituindo n=20 e \log_{10}(20)=1{,}301,
k = 1 + 3{,}322\times 1{,}301 \approx 1 + 4{,}322 \approx 5{,}322.
Como o número de classes deve ser inteiro e prático, escolhemos k=5 classes (arredondamento para um número inteiro conveniente).

Passo 3

Calcular o alcance (amplitude total) e a largura aproximada de classe. A amplitude total é
\text{amplitude} = \max - \min.
Da amostra, o menor valor é \min=158 e o maior é \max=170, logo
\text{amplitude} = 170 - 158 = 12.
A largura de classe teórica é
h = \frac{\text{amplitude}}{k} = \frac{12}{5} = 2{,}4.
Como h=2{,}4 não é prático para classes com números inteiros, escolhemos uma largura de classe prática h=3 (arredondando para cima para cobrir todos os dados de forma simples).

Passo 4

Definimos então as 5 classes com amplitude 3 (cada uma cobrindo 3 valores inteiros consecutivos). Para que as classes cubram todos os dados e comecem em um valor observável, escolho as classes:
158\text{–}160,\quad 161\text{–}163,\quad 164\text{–}166,\quad 167\text{–}169,\quad 170\text{–}172.
Agora conto quantos observações caem em cada classe. Vou usar as contagens individuais dos valores para facilitar (estes são os dados e suas frequências individuais):
\begin{aligned} 158&:\;2\quad&160&:\;2\quad&161&:\;2\quad&162&:\;4\quad&163&:\;1\\\\ 164&:\;1\quad&165&:\;2\quad&166&:\;1\quad&167&:\;1\quad&168&:\;1\\\\ 169&:\;1\quad&170&:\;2 \end{aligned}
Somando por classe:
  • Classe \,158\text{–}160: contém 158 (2 vezes) e 160 (2 vezes) \Rightarrow f=4.
  • Classe \,161\text{–}163: contém 161 (2), 162 (4), 163 (1) \Rightarrow f=7.
  • Classe \,164\text{–}166: contém 164 (1), 165 (2), 166 (1) \Rightarrow f=4.
  • Classe \,167\text{–}169: contém 167 (1), 168 (1), 169 (1) \Rightarrow f=3.
  • Classe \,170\text{–}172: contém 170 (2) \Rightarrow f=2.
Verificação: 4+7+4+3+2 = 20, que é n.

Passo 5

(Ensino rápido sobre média) A média amostral \bar{x} é a soma dos valores dividida pelo número de observações:
\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i.
Para somar rapidamente usamos as frequências dos valores distintos. Calculei previamente a soma total:
\sum x_i = 3273.
Portanto
\bar{x} = \frac{3273}{20} = 163{,}65\\ \text{cm}.
Interpretação: a altura média da amostra é 163{,}65 centímetros.

Passo 6

(Ensino rápido sobre desvio padrão amostral) O desvio padrão amostral s mede a dispersão dos dados em torno da média. A fórmula que usamos (amostral, com divisor n-1) é
s = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar{x})^2 }.
Uma forma mais prática de calcular é usar
s^2 = \frac{1}{n-1}\left(\sum_{i=1}^{n} x_i^2 - \frac{(\sum_{i=1}^{n} x_i)^2}{n}\right),
onde \sum x_i^2 é a soma dos quadrados dos dados.

Passo 7

Calcular \sum x_i^2 usando as frequências por valor (feita no passo 4). Obtivemos
\sum x_i^2 = 535891.
Aplicando a fórmula da variância amostral:
s^2 = \frac{1}{n-1}\left(\sum x_i^2 - \frac{(\sum x_i)^2}{n}\right) = \frac{1}{19}\left(535891 - \frac{3273^2}{20}\right).
Calculando \dfrac{3273^2}{20} = \dfrac{10712529}{20} = 535626{,}45. Então
s^2 = \frac{1}{19}\left(535891 - 535626{,}45\right) = \frac{264{,}55}{19} \approx 13{,}923684.
Logo o desvio padrão amostral é
s = \sqrt{13{,}923684}\approx 3{,}73\\ \text{cm}.

Passo 8

Resumo e interpretação breve (tudo pronto):
  • Tabela de classes com frequências construída no Passo 4.
  • Média amostral \bar{x}=163{,}65 cm (valor exato da amostra).
  • Desvio padrão amostral s\approx 3{,}73 cm (medida da dispersão das alturas).

Resposta

Distribuição por classes (largura 3):
158\text{–}160:\; f=4
161\text{–}163:\; f=7
164\text{–}166:\; f=4
167\text{–}169:\; f=3
170\text{–}172:\; f=2
\bar{x}=163{,}65\\ \text{cm}
s\approx 3{,}73\\ \text{cm}

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