Dada a seguinte tabela de distribuição de frequências de classes sobre o peso (em kg) de 50 indivíduos:
Classes x_{i} f_{i} f_{r} F_{i} F_{r}
50-55 5
55-60 10
60-65 15
65-70 12
70-75 8
Preencha a tabela e calcule a média.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: preencher a tabela de distribuição (colunas x_{i}, f_{r}, F_{i}, F_{r}) a partir das classes e das frequências absolutas f_{i}, e calcular a média do peso. As informações fornecidas são as classes e as frequências absolutas:
\begin{array}{l|c} \text{Classes} & f_{i} \\\ \hline 50\text{-}55 & 5\\\\ 55\text{-}60 & 10\\\\ 60\text{-}65 & 15\\\\ 65\text{-}70 & 12\\\\ 70\text{-}75 & 8 \end{array}
O total de observações (que também aparece no enunciado) é N=50. A partir disso precisamos:
  1. calcular os pontos médios x_{i} de cada classe;
  2. calcular as frequências relativas f_{r}=f_{i}/N;
  3. calcular as frequências acumuladas F_{i} e as acumuladas relativas F_{r};
  4. calcular a média amostral agrupada.

Passo 2

Vamos calcular os pontos médios x_{i}. Regra: o ponto médio de uma classe [a,b) (ou [a,b] neste caso) é
x_{i}=\frac{a+b}{2},
ou seja, a média aritmética dos extremos da classe. Calculando para cada classe:
\begin{aligned} \text{para }50\text{-}55:\;& x_{1}=\frac{50+55}{2}=52{,}5,\\\ \text{para }55\text{-}60:\;& x_{2}=\frac{55+60}{2}=57{,}5,\\\ \text{para }60\text{-}65:\;& x_{3}=\frac{60+65}{2}=62{,}5,\\\ \text{para }65\text{-}70:\;& x_{4}=\frac{65+70}{2}=67{,}5,\\\ \text{para }70\text{-}75:\;& x_{5}=\frac{70+75}{2}=72{,}5. \end{aligned}

Passo 3

Agora calculamos as frequências relativas f_{r}. Fórmula:
f_{r}=\frac{f_{i}}{N},
onde N=50. Calculando cada uma:
\begin{aligned} f_{r1} &= \frac{5}{50}=0{,}10,\\\ f_{r2} &= \frac{10}{50}=0{,}20,\\\ f_{r3} &= \frac{15}{50}=0{,}30,\\\ f_{r4} &= \frac{12}{50}=0{,}24,\\\ f_{r5} &= \frac{8}{50}=0{,}16. \end{aligned}
Verificação rápida: a soma das f_{r} deve ser 1{,}00: 0{,}10+0{,}20+0{,}30+0{,}24+0{,}16=1{,}00.

Passo 4

Calculamos as frequências acumuladas absolutas F_{i}. Regra: F_{i} é a soma das frequências absolutas até a classe i. Fazendo a acumulação:
\begin{aligned} F_{1} &= 5,\\\ F_{2} &= 5+10=15,\\\ F_{3} &= 15+15=30,\\\ F_{4} &= 30+12=42,\\\ F_{5} &= 42+8=50. \end{aligned}
Observe que F_{5}=N=50, como esperado.

Passo 5

As frequências acumuladas relativas F_{r} podem ser obtidas dividindo F_{i} por N ou somando sucessivamente as f_{r}. Usando F_{r}=F_{i}/N:
\begin{aligned} F_{r1} &= \frac{5}{50}=0{,}10,\\\ F_{r2} &= \frac{15}{50}=0{,}30,\\\ F_{r3} &= \frac{30}{50}=0{,}60,\\\ F_{r4} &= \frac{42}{50}=0{,}84,\\\ F_{r5} &= \frac{50}{50}=1{,}00. \end{aligned}

Passo 6

Agora vamos calcular a média amostral para dados agrupados. Fórmula (média ponderada pelos f_{i}):
\bar{x}=\frac{\sum_{i} f_{i} x_{i}}{\sum_{i} f_{i}}=\frac{\sum_{i} f_{i} x_{i}}{N}.
Aqui f_{i} é a frequência absoluta da classe i, x_{i} é o ponto médio da classe i, e N=50 é o total de observações.

Passo 7

Calculamos cada produto f_{i}x_{i} e somamos:
\begin{aligned} f_{1}x_{1} &= 5\cdot 52{,}5 = 262{,}5,\\\ f_{2}x_{2} &= 10\cdot 57{,}5 = 575{,}0,\\\ f_{3}x_{3} &= 15\cdot 62{,}5 = 937{,}5,\\\ f_{4}x_{4} &= 12\cdot 67{,}5 = 810{,}0,\\\ f_{5}x_{5} &= 8\cdot 72{,}5 = 580{,}0. \end{aligned}
Somando:
\sum_{i} f_{i}x_{i}=262{,}5+575{,}0+937{,}5+810{,}0+580{,}0=3165{,}0.

Passo 8

Finalmente, a média é
\bar{x}=\frac{3165{,}0}{50}=63{,}3.
Interpretando: a média dos pesos (aproximada pelo método de dados agrupados) é 63{,}3 kg.

Resposta

Classes x_{i} f_{i} f_{r} F_{i} F_{r}
50\text{-}55 52{,}5 5 0{,}10 5 0{,}10
55\text{-}60 57{,}5 10 0{,}20 15 0{,}30
60\text{-}65 62{,}5 15 0{,}30 30 0{,}60
65\text{-}70 67{,}5 12 0{,}24 42 0{,}84
70\text{-}75 72{,}5 8 0{,}16 50 1{,}00
Média \bar{x}=63{,}3\\ \text{kg}

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