Dada a seguinte distribuição de idades de 22 funcionários de uma empresa:
,
. Organize os dados em uma tabela de distribuição de frequências por classes e calcule a média, mediana, moda e variância. (Use:
)
Passo 1
O enunciado dá as idades de
funcionários:
O que é pedido:
- Organizar os dados em uma tabela de distribuição de frequências por classes.
- Calcular a média, a mediana, a moda e a variância (daquela coleção de
valores).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Número total de observações:
. - Valores mínimo e máximo (observando a lista): mínimo
, máximo . - O enunciado forneceu
, que normalmente é usado pela regra de Sturges para escolher o número de classes, mas não exige que eu faça mais nada explicitamente.
Passo 2
Escolha do número de classes e amplitude (passo a passo didático)
- Regra de Sturges (muito usada):
. Usando ,
Arredondamos para
classes (opção natural aqui).
- Amplitude total (alcance):
. - Largura de classe aproximada:
. Para simplificar, escolhemos (valor inteiro conveniente). - Tomamos classes consecutivas de largura
cobrindo de a . Vou usar intervalos fechados em termos de inteiros para explicar facilmente.
Construção das classes (cada classe contém números inteiros):
- Classe 1:
- Classe 2:
- Classe 3:
- Classe 4:
- Classe 5:
Agora contamos quantas observações caem em cada classe (vou listar as frequências por valor e depois agrupar):
Frequências por valor (extraídas da lista dada):
Frequências por valor (extraídas da lista dada):
Agrupando nas classes definidas:
-
: -
: -
: -
: -
:
Tabela de frequência por classes (resumo):
Verificação:
. Tudo fechado.
Passo 3
Cálculo da média (explicação didática e exata)
- A média aritmética é o “centro de massa” dos dados. Para dados não agrupados usamos
onde
são as idades individuais e
é o número total de observações.
- Primeiro calculei a soma dos valores observados agrupando por valor (mais seguro e exato):
Cálculo passo a passo:
Somando tudo:
- Assim a média é
Interpretação: a idade média dos 22 funcionários é aproximadamente
anos.
Passo 4
Cálculo da mediana (explicação didática e exata)
- A mediana é o valor central quando ordenamos os dados. Para
par (aqui ), a mediana é a média dos elementos de ordem e . - Ordenando os dados (lista crescente), obtém-se:
- Os elementos de ordem
e (porque ) são e . - Portanto a mediana é
Passo 5
Cálculo da moda (explicação didática)
- Moda é o valor que ocorre com maior frequência na amostra.
- Pela contagem por valor (passo 2), as frequências dos valores foram:
etc. - O valor com maior frequência é
(ocorre vezes). - Assim a moda é
. (Se fôssemos falar da classe modal, seria a classe com frequência .)
Passo 6
Cálculo da variância (com explicação passo a passo)
- Existem duas convenções: variância populacional (dividir por
) e variância amostral (dividir por ). Aqui temos os funcionários (a coleção completa daquele grupo), então usei a variância populacional:
Uma forma prática e numérica é usar
onde
é a soma dos quadrados das observações.
- Calculei
agrupando por valor:
Somando:
- Então
- Já temos
. Logo
Fazendo as operações (detalhe aritmético):
portanto
- Se você precisasse da variância amostral (dividindo por
), seria
mas deixei como principal a variância populacional
porque tratamos os
funcionários como o universo em análise.
Resposta
Média:
Mediana:
Moda:
Variância (populacional):
Mediana:
Moda:
Variância (populacional):