Dada a seguinte distribuição de idades de 22 funcionários de uma empresa: 25,28,34,25, 29,31,30,28,27,38,26,30,25,33,28,39,31,32,28,39,31,32. Organize os dados em uma tabela de distribuição de frequências por classes e calcule a média, mediana, moda e variância. (Use: \log _{10}(22)=1,3424 )

Passo 1

O enunciado dá as idades de 22 funcionários:
25,28,34,25,29,31,30,28,27,38,26,30,25,33,28,39,31,32,28,39,31,32.
O que é pedido:
  • Organizar os dados em uma tabela de distribuição de frequências por classes.
  • Calcular a média, a mediana, a moda e a variância (daquela coleção de 22 valores).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Número total de observações: n=22.
  • Valores mínimo e máximo (observando a lista): mínimo =25, máximo =39.
  • O enunciado forneceu \log_{10}(22)=1,3424, que normalmente é usado pela regra de Sturges para escolher o número de classes, mas não exige que eu faça mais nada explicitamente.

Passo 2

Escolha do número de classes e amplitude (passo a passo didático)
  • Regra de Sturges (muito usada): k = 1 + 3{,}322\log_{10}n. Usando \log_{10}(22)=1{,}3424,
k \approx 1 + 3{,}322\cdot 1{,}3424 \approx 5{,}459.
Arredondamos para k=5 classes (opção natural aqui).
  • Amplitude total (alcance): \text{R} = \text{máx} - \text{mín} = 39-25 = 14áí.
  • Largura de classe aproximada: h = \dfrac{\text{R}}{k} = \dfrac{14}{5} = 2{,}8. Para simplificar, escolhemos h=3 (valor inteiro conveniente).
  • Tomamos classes consecutivas de largura 3 cobrindo de 25 a 39. Vou usar intervalos fechados em termos de inteiros para explicar facilmente.
Construção das classes (cada classe contém números inteiros):
  • Classe 1: [25,27]
  • Classe 2: [28,30]
  • Classe 3: [31,33]
  • Classe 4: [34,36]
  • Classe 5: [37,39]
Agora contamos quantas observações caem em cada classe (vou listar as frequências por valor e depois agrupar):
Frequências por valor (extraídas da lista dada):
\begin{aligned} &25:\,3,\quad 26:\,1,\quad 27:\,1,\quad 28:\,4,\quad 29:\,1,\\\ &30:\,2,\quad 31:\,3,\quad 32:\,2,\quad 33:\,1,\\\ &34:\,1,\quad 38:\,1,\quad 39:\,2. \end{aligned}
Agrupando nas classes definidas:
  • [25,27]: 25+26+27 \Rightarrow 3+1+1 = 5
  • [28,30]: 28+29+30 \Rightarrow 4+1+2 = 7
  • [31,33]: 31+32+33 \Rightarrow 3+2+1 = 6
  • [34,36]: 34+35+36 \Rightarrow 1+0+0 = 1
  • [37,39]: 37+38+39 \Rightarrow 0+1+2 = 3
Tabela de frequência por classes (resumo):
\begin{array}{c|c|c} \text{Classe} & \text{Frequência }(f_i) & \text{Ponto médio }(x_i)\\hline [25,27] & 5 & 26\\\ [28,30] & 7 & 29\\\ [31,33] & 6 & 32\\\ [34,36] & 1 & 35\\\ [37,39] & 3 & 38 \end{array}êé
Verificação: 5+7+6+1+3 = 22 = n. Tudo fechado.

Passo 3

Cálculo da média (explicação didática e exata)
  • A média aritmética é o “centro de massa” dos dados. Para dados não agrupados usamos
\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i,
onde x_i são as idades individuais e n é o número total de observações.
  • Primeiro calculei a soma dos valores observados agrupando por valor (mais seguro e exato):
\sum x_i = 25\cdot 3 + 26\cdot 1 + 27\cdot 1 + 28\cdot 4 + 29\cdot 1 + 30\cdot 2 + 31\cdot 3 + 32\cdot 2 + 33\cdot 1 + 34\cdot 1 + 38\cdot 1 + 39\cdot 2.
Cálculo passo a passo:
\begin{aligned} &25\cdot 3 = 75, \quad 26\cdot 1 = 26,\quad 27\cdot 1 = 27,\\\ &28\cdot 4 = 112,\quad 29\cdot 1 = 29,\quad 30\cdot 2 = 60,\\\ &31\cdot 3 = 93,\quad 32\cdot 2 = 64,\quad 33\cdot 1 = 33,\\\ &34\cdot 1 = 34,\quad 38\cdot 1 = 38,\quad 39\cdot 2 = 78. \end{aligned}
Somando tudo:
\sum x_i = 75+26+27+112+29+60+93+64+33+34+38+78 = 669.
  • Assim a média é
\bar{x} = \frac{669}{22} \approx 30{,}4091.
Interpretação: a idade média dos 22 funcionários é aproximadamente 30{,}41 anos.

Passo 4

Cálculo da mediana (explicação didática e exata)
  • A mediana é o valor central quando ordenamos os dados. Para n par (aqui n=22), a mediana é a média dos elementos de ordem n/2 e n/2+1.
  • Ordenando os dados (lista crescente), obtém-se:
\begin{array}{l} 25,25,25,26,27,28,28,28,28,29, \\\\ 30,30,31,31,31,32,32,33,34,38,39,39. \end{array}
  • Os elementos de ordem 11 e 12 (porque n/2=11) são x_{11}=30 e x_{12}=30.
  • Portanto a mediana é
\text{Mediana} = \frac{30+30}{2} = 30.

Passo 5

Cálculo da moda (explicação didática)
  • Moda é o valor que ocorre com maior frequência na amostra.
  • Pela contagem por valor (passo 2), as frequências dos valores foram: 25:\,3,\;28:\,4,\;31:\,3, etc.
  • O valor com maior frequência é 28 (ocorre 4 vezes).
  • Assim a moda é 28. (Se fôssemos falar da classe modal, seria a classe [28,30] com frequência 7.)

Passo 6

Cálculo da variância (com explicação passo a passo)
  • Existem duas convenções: variância populacional (dividir por n) e variância amostral (dividir por n-1). Aqui temos os 22 funcionários (a coleção completa daquele grupo), então usei a variância populacional:
\sigma^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2.
Uma forma prática e numérica é usar
\sigma^2 = \frac{1}{n}\sum x_i^2 - \bar{x}^2,
onde \sum x_i^2 é a soma dos quadrados das observações.
  • Calculei \sum x_i^2 agrupando por valor:
\begin{aligned} &25^2\cdot 3 = 625\cdot 3 = 1875,\\\ &26^2\cdot 1 = 676, \quad 27^2\cdot 1 = 729,\\\ &28^2\cdot 4 = 784\cdot 4 = 3136,\\\ &29^2\cdot 1 = 841, \quad 30^2\cdot 2 = 900\cdot 2 = 1800,\\\ &31^2\cdot 3 = 961\cdot 3 = 2883,\\\ &32^2\cdot 2 = 1024\cdot 2 = 2048,\\\ &33^2\cdot 1 = 1089,\quad 34^2\cdot 1 = 1156,\\\ &38^2\cdot 1 = 1444,\quad 39^2\cdot 2 = 1521\cdot 2 = 3042. \end{aligned}
Somando:
\sum x_i^2 = 1875+676+729+3136+841+1800+2883+2048+1089+1156+1444+3042 = 20719.
  • Então
\frac{1}{n}\sum x_i^2 = \frac{20719}{22}.
  • Já temos \bar{x} = \dfrac{669}{22}. Logo
\sigma^2 = \frac{20719}{22} - \left(\frac{669}{22}\right)^2.
Fazendo as operações (detalhe aritmético):
\begin{aligned} &\frac{20719}{22} = \frac{455818}{484},\\\ &\left(\frac{669}{22}\right)^2 = \frac{447561}{484}, \end{aligned}
portanto
\sigma^2 = \frac{455818-447561}{484} = \frac{8257}{484} \approx 17{,}0661.
  • Se você precisasse da variância amostral (dividindo por n-1), seria
s^2 = \frac{8257}{462} \approx 17{,}8660,
mas deixei como principal a variância populacional \sigma^2 porque tratamos os 22 funcionários como o universo em análise.

Resposta

Média: \bar{x}=\dfrac{669}{22}\approx 30{,}4091
Mediana: 30
Moda: 28
Variância (populacional): \sigma^2=\dfrac{8257}{484}\approx 17{,}0661

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