Considere os dados do problema anterior (10). Supondo que dessa vez o gás expande-se por um processo que não é quase-estático. (a) Qual a variação de entropia do gás? (b) O que se pode dizer sobre a variação de entropia do universo?

Passo 1

O enunciado diz: “Considere os dados do problema anterior (10). Supondo que dessa vez o gás expande-se por um processo que não é quase-estático. (a) Qual a variação de entropia do gás? (b) O que se pode dizer sobre a variação de entropia do universo?”\n
Informações relevantes fornecidas aqui: nenhuma quantitativa — o enunciado refere-se a “dados do problema anterior (10)” que não foram enviados.\n
Perguntas que o enunciado faz: (a) calcular a variação de entropia do gás \Delta S_{\text{gás}}á; (b) dizer o que se pode afirmar sobre a variação de entropia do universo \Delta S_{\text{universo}}.\n
Observação importante: como os valores iniciais e finais de estado (por exemplo \,T_i,\,T_f,\,V_i,\,V_f,\,n ou o calor trocado Q etc.) não foram fornecidos aqui, não é possível obter um valor numérico específico. Vou então explicar passo a passo a teoria necessária e dar as fórmulas gerais e os princípios que permitem responder às perguntas quando se conhecem os dados do problema anterior.

Passo 2

Conceito-chave 1 — entropia é função de estado:\n
A entropia S é uma função de estado termodinâmico. Isso significa que a variação de entropia entre dois estados de equilíbrio quaisquer depende somente desses estados (inicial e final) e não do caminho real seguido. Em notação:
\Delta S_{\text{gás}} = S_{\text{final}} - S_{\text{inicial}}á
e esse \Delta S_{\text{gás}}á pode ser calculado por qualquer processo reversível imaginário que conecte os mesmos estados.\n
Por isso, mesmo que o processo real seja irreversível (não quase-estático), para calcular \Delta S_{\text{gás}}á podemos escolher um caminho reversível entre os mesmos estados e usar a definição termodinâmica:\n
Conceito-chave 2 — definição prática da variação de entropia:\n
\Delta S_{\text{gás}}=\int_{\text{inicial}}^{\text{final}}\frac{\delta Q_{\text{rev}}}{T},á
onde \delta Q_{\text{rev}} é o calor trocado ao longo de um caminho reversível que liga os mesmos estados; T é a temperatura em cada ponto do caminho reversível. Importante: essa integral é calculada ao longo do caminho reversível fictício, não do processo real.\n
Exemplo e fórmulas úteis para gás ideal (isso é muito comum em provas):\n
  • Para um gás ideal monoatômico ou poliatômico, uma expressão geral que se usa é
\Delta S_{\text{gás}} = n c_V \ln\!\left(\frac{T_f}{T_i}\right) + n R \ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right),á
onde n é o número de mols, c_V é a capacidade calorífica molar a volume constante (constante ou função de T dependendo do modelo), R é a constante universal dos gases, T_i, T_f são temperaturas inicial e final, e V_i, V_f são volumes inicial e final. Essa fórmula vem de escrever dS = \frac{c_V dT}{T} + \frac{R dV}{V} para gás ideal e integrar entre os estados.\n
  • Caso o processo seja isotérmico (mesma temperatura T), a fórmula simplifica para
\Delta S_{\text{gás}} = nR \ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).á
Este é um caso muito usado: por exemplo, na expansão livre de um gás ideal em vácuo (processo irreversível sem troca de calor), Q=0 no processo real, mas a variação de entropia do gás ainda é obtida como acima, porque \Delta S é função de estado.\n
Como usar na prática: se você souber T_i,T_f,V_i,V_f,n (ou souber que o processo foi isoterma, adiabática, etc.), escolha a fórmula adequada e calcule \Delta S_{\text{gás}}á. Se houver calor Q trocado com um reservatório conhecido a temperatura T_0, também se pode calcular \Delta S_{\text{gás}}á via um caminho reversível equivalente ou via tabelas/propriedades.

Passo 3

Aplicação ao enunciado (parte a): por que não tenho um número? \n
Como o enunciado referiu-se aos “dados do problema anterior (10)” que não foram enviados, eu não tenho os valores de \,T_i,\,T_f,\,V_i,\,V_f,\,n nem o tipo exato do processo (por exemplo, é expansão livre em vácuo, é expansão contra uma pressão constante, é contato com reservatório isotérmico?). Sem esses dados não há como calcular um valor numérico para \Delta S_{\text{gás}}á.\n
O que posso afirmar de forma geral e útil para a prova:\n
  • Se o gás é ideal e você conhece V_i e V_f e o processo foi isotérmico, então
\Delta S_{\text{gás}} = nR \ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).á
  • Se o processo leva de (T_i,V_i) a (T_f,V_f) para gás ideal, use
\Delta S_{\text{gás}} = n c_V \ln\!\left(\frac{T_f}{T_i}\right) + n R \ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).á
  • Num caso de expansão livre (irrev., Q_{\text{real}}=0 e isolamento térmico do gás), ainda assim a variação de entropia do gás é positiva e dada por \Delta S_{\text{gás}} = nR\ln(V_f/V_i)á se for ideal.\n
    Resumo prático: para responder (a) na prova, identifique os estados inicial e final; escolha a expressão apropriada (acima); calcule. Se os estados não mudam (processo cíclico), \Delta S_{\text{gás}}=0á.

Passo 4

Parte (b) — o que dizer sobre a variação da entropia do universo:\n
Conceito-chave 3 — segunda lei para entropia do universo:\n
A variação total de entropia do universo (sistema + ambiente) satisfaz
\Delta S_{\text{universo}} = \Delta S_{\text{gás}} + \Delta S_{\text{ambiente}} \ge 0,á
com igualdade apenas para processos reversíveis. Para um processo irreversível (não quase-estático) temos estritamente
\Delta S_{\text{universo}} > 0.\n
Como avaliar \Delta S_{\text{ambiente}} em casos comuns: se o ambiente for um reservatório térmico a temperatura T_0 que troca calor Q com o gás, então (assumindo T_0 constante)
\Delta S_{\text{ambiente}} = -\frac{Q}{T_0}.
Então
\Delta S_{\text{universo}} = \Delta S_{\text{gás}} - \frac{Q}{T_0}.á
Mas atenção: Q aqui é o calor trocado no processo real (ou equivalentes dependendo do que for conhecido). Muitas vezes não é preciso calcular Q — o que se exige é determinar o sinal de \Delta S_{\text{universo}}.\n
Casos típicos que ajudam a intuir a resposta:\n
  • Expansão livre (gás ideal em vácuo): Q_{\text{real}}=0, ambiente não troca calor, então \Delta S_{\text{ambiente}}=0 e \Delta S_{\text{universo}}=\Delta S_{\text{gás}}>0á. Portanto o universo ganha entropia.\n
  • Processo irreversível com troca de calor com reservatório: mesmo que \Delta S_{\text{gás}}á fosse negativa (pouco comum em expansões, mas pode ocorrer em compressões irreversíveis), a segunda lei exige que a soma com \Delta S_{\text{ambiente}} seja não negativa; em processos irreversíveis estritamente positiva.\n
    Logo, para a pergunta (b) podemos afirmar sem dados numéricos: se o processo é não quase-estático (irreversível), então
\Delta S_{\text{universo}} > 0.

Passo 5

Como você vai aplicar isso rapidamente na prova (receita prática):\n
  1. Identifique estados inicial e final do gás (valores de T,V ou P,V etc.).\n
  2. Use a expressão adequada para \Delta S_{\text{gás}}á (ex.: \Delta S = nR\ln(V_f/V_i) para isotérmico ou expansão livre de gás ideal).\n
  3. Para a entropia do universo, lembre-se do sinal: se o processo for irreversível, basta afirmar que \Delta S_{\text{universo}}>0; para número exato, calcule \Delta S_{\text{ambiente}}=-Q/T_0 quando houver um reservatório conhecido e some com \Delta S_{\text{gás}}á.\n
    Se você me passar os dados do problema (10) (valores de n,T_i,T_f,V_i,V_f, se foi expansão livre ou contra pressão fixa, se há reservatório e sua temperatura etc.), eu calculo passo a passo os números usando as fórmulas acima.

Resposta

(a) Não é possível dar um valor numérico sem os dados do problema anterior; em termos gerais, a variação de entropia do gás é
\Delta S_{\text{gás}}=\int_{\text{inicial}}^{\text{final}}\frac{\delta Q_{\text{rev}}}{T},á
e, para gás ideal,
\Delta S_{\text{gás}}=n c_V \ln\!\left(\frac{T_f}{T_i}\right) + n R \ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right),á
especialmente, para processo isotérmico
\Delta S_{\text{gás}}=nR\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).á
(b) Como o processo é não quase-estático (irreversível), a variação de entropia do universo satisfaz
\Delta S_{\text{universo}}>0.

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