Duas máquinas de Carnot estão acopladas em série. Se seus rendimentos individuais são
e
, determine o rendimento do sistema.
OBS.: Como as duas máquinas estão em série, o reservatório frio de uma seria o reservatório quente de outra. Recomendo que faça um desenho para compreender o problema.
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa específica.
Informações dadas:
- Existem duas máquinas de Carnot acopladas em série.
- Os rendimentos individuais são
para a primeira máquina e para a segunda máquina. - As máquinas estão em série, ou seja, o reservatório frio da primeira coincide com o reservatório quente da segunda (há uma temperatura intermediária comum).
O que o enunciado pede:
- Determinar o rendimento do sistema formado pelas duas máquinas em série, expresso em função de
e .
Passo 2
Definições e conceitos essenciais (explicação didática e intuitiva).
- Rendimento de uma máquina térmica: sendo
o calor absorvido da fonte quente e o trabalho produzido, o rendimento é
Aqui
é o calor rejeitado para a fonte fria.
- Máquina de Carnot (física fundamental): para uma máquina de Carnot reversível operando entre temperaturas absolutas
e , a razão dos calores é igual à razão das temperaturas:
Isso significa que o rendimento de uma máquina de Carnot é
- Notação de temperaturas que usaremos: seja
a temperatura do reservatório quente inicial, a temperatura intermediária (reservatório frio da primeira = quente da segunda) e a temperatura do reservatório frio final.
Passo 3
Aplicando as fórmulas às duas máquinas separadamente e escrevendo o que cada símbolo significa.
- Para a primeira máquina (entre
e ), o rendimento dado é , logo, pela relação de Carnot,
Aqui
é a razão entre a temperatura fria da primeira máquina e a temperatura quente dela.
- Para a segunda máquina (entre
e ), o rendimento dado é , logo
Aqui
é a razão entre a temperatura fria da segunda máquina e a temperatura quente dela (que é
).
Passo 4
Isolando as razões de temperaturas em função dos rendimentos (passo algébrico claro).
- Da expressão de
temos
- Da expressão de
temos
Passo 5
Relação entre o calor final rejeitado e o calor inicial absorvido do reservatório quente, usando a cadeia das razões de calor (a intuição: os fatores se multiplicam).
- Para uma máquina de Carnot qualquer,
. - Como as máquinas estão em série, o calor final rejeitado do conjunto é
(rejeitado para ) e o calor inicial absorvido é (absorvido de ). A razão total é o produto das razões parciais:
(Explicação curta: o primeiro estágio tem fator
e o segundo tem
; multiplicando dá
.)
Passo 6
Expressando
em termos de
e
e obtendo o rendimento total.
- Usando os resultados do
Passo 7
- O rendimento total do conjunto é
- Desenvolvendo o produto para ficar numa forma mais direta:
então
Passo 8
Interpretação rápida e exemplo numérico para fixar a ideia (bem didático).
- Interpretação: o rendimento combinado é menor que a soma simples
porque subtrai o termo ; isso faz sentido fisicamente porque parte do calor passa de um estágio para o outro e não se soma diretamente. - Exemplo numérico: se
e ,
Ou seja, rendimento total de
. Isso confere com a ideia de que uma única máquina de Carnot entre
e
teria o mesmo rendimento.
Resposta
(C)