Duas máquinas de Carnot estão acopladas em série. Se seus rendimentos individuais são \eta_{1} e \eta_{2}, determine o rendimento do sistema.
OBS.: Como as duas máquinas estão em série, o reservatório frio de uma seria o reservatório quente de outra. Recomendo que faça um desenho para compreender o problema.
(A) \left(\eta_{1}+\eta_{2}\right) / 2
(B) \eta_{1} \eta_{2} /\left(\eta_{1}+\eta_{2}\right)
(C) \eta_{1}+\eta_{2}-\eta_{1} \eta_{2}
(D) \sqrt{\eta_{1} \eta_{2}}
(E) \eta_{1} \eta_{2} / 2\left(\eta_{1}+\eta_{2}\right)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa específica.
Informações dadas:
  • Existem duas máquinas de Carnot acopladas em série.
  • Os rendimentos individuais são \eta_{1} para a primeira máquina e \eta_{2} para a segunda máquina.
  • As máquinas estão em série, ou seja, o reservatório frio da primeira coincide com o reservatório quente da segunda (há uma temperatura intermediária comum).
O que o enunciado pede:
  • Determinar o rendimento do sistema formado pelas duas máquinas em série, expresso em função de \eta_{1} e \eta_{2}.

Passo 2

Definições e conceitos essenciais (explicação didática e intuitiva).
  • Rendimento de uma máquina térmica: sendo Q_{\text{in}} o calor absorvido da fonte quente e W o trabalho produzido, o rendimento é
\eta=\frac{W}{Q_{\text{in}}}=1-\frac{Q_{\text{out}}}{Q_{\text{in}}}.
Aqui Q_{\text{out}} é o calor rejeitado para a fonte fria.
  • Máquina de Carnot (física fundamental): para uma máquina de Carnot reversível operando entre temperaturas absolutas T_{\text{quente}} e T_{\text{fria}}, a razão dos calores é igual à razão das temperaturas:
\frac{Q_{\text{out}}}{Q_{\text{in}}}=\frac{T_{\text{fria}}}{T_{\text{quente}}}.
Isso significa que o rendimento de uma máquina de Carnot é
\eta_{\text{Carnot}}=1-\frac{T_{\text{fria}}}{T_{\text{quente}}}.
  • Notação de temperaturas que usaremos: seja T_h a temperatura do reservatório quente inicial, T_m a temperatura intermediária (reservatório frio da primeira = quente da segunda) e T_c a temperatura do reservatório frio final.

Passo 3

Aplicando as fórmulas às duas máquinas separadamente e escrevendo o que cada símbolo significa.
  • Para a primeira máquina (entre T_h e T_m), o rendimento dado é \eta_{1}, logo, pela relação de Carnot,
\eta_{1}=1-\frac{T_{m}}{T_{h}}.
Aqui \frac{T_{m}}{T_{h}} é a razão entre a temperatura fria da primeira máquina e a temperatura quente dela.
  • Para a segunda máquina (entre T_m e T_c), o rendimento dado é \eta_{2}, logo
\eta_{2}=1-\frac{T_{c}}{T_{m}}.
Aqui \frac{T_{c}}{T_{m}} é a razão entre a temperatura fria da segunda máquina e a temperatura quente dela (que é T_m).

Passo 4

Isolando as razões de temperaturas em função dos rendimentos (passo algébrico claro).
  • Da expressão de \eta_{1} temos
\frac{T_{m}}{T_{h}}=1-\eta_{1}.
  • Da expressão de \eta_{2} temos
\frac{T_{c}}{T_{m}}=1-\eta_{2}.

Passo 5

Relação entre o calor final rejeitado e o calor inicial absorvido do reservatório quente, usando a cadeia das razões de calor (a intuição: os fatores se multiplicam).
  • Para uma máquina de Carnot qualquer, \dfrac{Q_{\text{out}}}{Q_{\text{in}}}=\dfrac{T_{\text{fria}}}{T_{\text{quente}}}.
  • Como as máquinas estão em série, o calor final rejeitado do conjunto é Q_{c} (rejeitado para T_c) e o calor inicial absorvido é Q_{h} (absorvido de T_h). A razão total é o produto das razões parciais:
\frac{Q_{c}}{Q_{h}}=\frac{T_{c}}{T_{h}}.
(Explicação curta: o primeiro estágio tem fator \dfrac{T_m}{T_h} e o segundo tem \dfrac{T_c}{T_m}; multiplicando dá \dfrac{T_c}{T_h}.)

Passo 6

Expressando \dfrac{T_{c}}{T_{h}} em termos de \eta_{1} e \eta_{2} e obtendo o rendimento total.
  • Usando os resultados do

Passo 7

\frac{T_{c}}{T_{h}}=\frac{T_{c}}{T_{m}}\cdot\frac{T_{m}}{T_{h}}=(1-\eta_{2})(1-\eta_{1}).
  • O rendimento total do conjunto é
\eta_{\text{total}}=1-\frac{T_{c}}{T_{h}}=1-(1-\eta_{1})(1-\eta_{2}).
  • Desenvolvendo o produto para ficar numa forma mais direta:
(1-\eta_{1})(1-\eta_{2})=1-\eta_{1}-\eta_{2}+\eta_{1}\eta_{2},
então
\eta_{\text{total}}=1-\bigl(1-\eta_{1}-\eta_{2}+\eta_{1}\eta_{2}\bigr)=\eta_{1}+\eta_{2}-\eta_{1}\eta_{2}.

Passo 8

Interpretação rápida e exemplo numérico para fixar a ideia (bem didático).
  • Interpretação: o rendimento combinado é menor que a soma simples \eta_{1}+\eta_{2} porque subtrai o termo \eta_{1}\eta_{2}; isso faz sentido fisicamente porque parte do calor passa de um estágio para o outro e não se soma diretamente.
  • Exemplo numérico: se \eta_{1}=0{,}4 e \eta_{2}=0{,}5,
\eta_{\text{total}}=0{,}4+0{,}5-(0{,}4)(0{,}5)=0{,}9-0{,}2=0{,}7.
Ou seja, rendimento total de 70\%. Isso confere com a ideia de que uma única máquina de Carnot entre T_h e T_c teria o mesmo rendimento.

Resposta

(C) \eta_{1}+\eta_{2}-\eta_{1}\eta_{2}

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