Considere os dados sobre a resistência (em Kg ) de todas 15 cordas de nylon de um lote:
X=350350350358370370370371371372372384391391392
Suponha que X represente uma população de tamanho N=15 :
a) calcule a média mu e variância sigmax^2.
b) Em um novo processo de fabricação da corda, se resistência for modificada da forma Y=a X+b ( a, b : constantes) na variável original X, obtenha a média de Y e mostre que a variância sigmay^2 de Y é dada por sigmay^2=a^2 sigmax^2.

Passo 1

O enunciado fornece uma população de tamanho N=15 cujos valores de resistência são
X = 350,350,350,358,370,370,370,371,371,372,372,384,391,391,392
Pede-se a média populacional mu e a variância populacional sigmax^2 usando as definições
mu = 1Nsumi=1^N Xi, sigmax^2 = 1Nsumi=1^Nl(Xi - mur)^2
Além disso, define-se uma transformação linear Y = aX + b e pede-se a média de Y e a demonstração de que
sigmay^2 = a^2,sigmax^2

Passo 2

Calcular a média mu. Primeiro somamos todos os Xi:
sumi=1^15 Xi =350cdot3 + 358 + 370cdot3 + 371cdot2 + 372cdot2 + 384 + 391cdot2 + 392 =5562
Então
mu = 115sumi=1^15Xi = 556215 = 370,8

Passo 3

Calcular a variância sigmax^2. Usamos
sigmax^2 = 115sumi=1^15 (Xi - 370,8)^2
Agrupando pelos valores repetidos, obtemos a soma dos quadrados das diferenças:
&(350 - 370,8)^2cdot3 = 432,64cdot3 = 1297,92, &(358 - 370,8)^2 = 163,84, &(370 - 370,8)^2cdot3 = 0,64cdot3 = 1,92, &(371 - 370,8)^2cdot2 = 0,04cdot2 = 0,08, &(372 - 370,8)^2cdot2 = 1,44cdot2 = 2,88, &(384 - 370,8)^2 = 174,24, &(391 - 370,8)^2cdot2 = 408,04cdot2 = 816,08, &(392 - 370,8)^2 = 449,44
Somando tudo:
sumi=1^15(Xi - 370,8)^2 = 2906,40
Portanto
sigmax^2 = 2906,4015 = 193,76

Passo 4

Transformação linear Y = aX + b. A média de Y é
muY = 1Nsumi=1^N Yi = 1Nsumi=1^N (a Xi + b) = aunderbrace1Nsum Ximu + b = a,mu + b
Para a variância, note que
Yi - muY = aXi + b - (amu + b) = a,(Xi - mu),
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sigmay^2 = 1Nsumi=1^N (Yi - muY)^2 = 1Nsumi=1^N l[a(Xi - mu)r]^2 = a^2,1Nsumi=1^N (Xi - mu)^2 = a^2,sigmax^2

Resposta

a) mu = 370,8, sigmax^2 = 193,76.
b) muY = a,mu + b e sigmay^2 = a^2,sigmax^2.

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