Considere as seguintes notas dos alunos de Eng. de alimentos em Estatística. Os dados dados representam uma amostra.
56 60 62 65 69 70 70 72 72 72
73 74 76 76 76 78 78 80 81 82
83 83 84 84 85 86 86 87 88 88
89 89 90 91 92 93 94 96 97 98
a) Para os dados acima calcule as seguintes medidas: média, mediana, moda, variância e quartis.
b) Com base apenas na média e mediana, já se pode falar algo sobre a simetria da distribuição de notas? Justifique.
c) A suspeita do item anterior é confirmada pelo boxplot? Justifique.
d) Há pontos aberrantes? Justifique.

Passo 1

O enunciado fornece uma amostra de n=40 notas de alunos e pede, em (a), as medidas de posição (média, mediana, moda) e dispersão (variância) além dos quartis. Em (b) devemos inferir algo sobre a simetria comparando média e mediana; em (c) verificar essa suspeita pelo boxplot; em (d) checar existência de pontos aberrantes (outliers).

Passo 2

Calcular a média amostral
bar x = 1nsumi=1^n xi,
onde sum xi = 3225 e n=40, logo
bar x = 322540 = 80,625

Passo 3

Calcular a mediana como a média dos 20º e 21º valores ordenados. Da ordenação, x(20)=82 e x(21)=83, então
mediana = 82 + 832 = 82,5

Passo 4

Determinar a(s) moda(s) como valor(es) que ocorre(m) com maior frequência. As frequências mais altas são:
72 aparece 3 vezes, 76 aparece 3 vezes
Logo trata-se de distribuição bimodal com modas 72 e 76.

Passo 5

Calcular a variância amostral
s^2 = 1n-1l(sumi=1^n xi^2 - (sumi=1^n xi)^2nr)
Temos sum xi^2 = 264269, (sum xi)^2/n = 260015,625, então
s^2 = 264269 - 260015,62540-1 approx 4253,37539 approx 109,05

Passo 6

Calcular os quartis pelo método de separar as 40 observações em duas metades de 20.
Q1 é a média de x(10) e x(11):
x(10)=72,;x(11)=73 Longrightarrow Q1 = 72+732 = 72,5
Q2 é a mediana já calculada 82,5.
Q3 é a média de x(30) e x(31):
x(30)=88,;x(31)=89 Longrightarrow Q3 = 88+892 = 88,5

Passo 7

Comparar média e mediana para julgar simetria:
bar x = 80,625 < 82,5 = mediana.
Quando a média é menor que a mediana, há assimetria negativa (cauda mais longa à esquerda).

Passo 8

No boxplot, o IQR =Q3 - Q1 = 16. Os limites dos bigodes são
Q1 - 1,5,(IQR) = 72,5 - 24 = 48,5, Q3 + 1,5,(IQR) = 88,5 + 24 = 112,5
Os valores máximo e mínimo reais ( 98 e 56) estão dentro desses limites. Além disso, o bigode inferior (de 56 a 72,5) é mais longo que o superior (de 88,5 a 98), confirmando a assimetria negativa.

Passo 9

Como não há pontos fora dos limites 48,5 e 112,5, não existem pontos aberrantes na amostra.

Resposta

a)
bar x = 80,625, mediana=82,5, moda=72,76, s^2approx109,05, Q1=72,5,;Q2=82,5,;Q3=88,5
b) Como bar x< mediana, a distribuição é assimetricamente negativa (cauda à esquerda).
c) O boxplot mostra bigode inferior maior e bigodes contidos nos limites sem outliers, confirmando assimetria negativa.
d) Não há pontos aberrantes, pois todos os valores estão dentro dos limites Q1-1,5,(IQR) e Q3+1,5,(IQR).

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