Considere as seguintes notas dos alunos de Eng. de alimentos em Estatística. Os dados dados representam uma amostra.
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98
a) Para os dados acima calcule as seguintes medidas: média, mediana, moda, variância e quartis.
b) Com base apenas na média e mediana, já se pode falar algo sobre a simetria da distribuição de notas? Justifique.
c) A suspeita do item anterior é confirmada pelo boxplot? Justifique.
d) Há pontos aberrantes? Justifique.
56 | 60 | 62 | 65 | 69 | 70 | 70 | 72 | 72 | 72 |
73 | 74 | 76 | 76 | 76 | 78 | 78 | 80 | 81 | 82 |
83 | 83 | 84 | 84 | 85 | 86 | 86 | 87 | 88 | 88 |
89 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 96 | 97 | 98 |
b) Com base apenas na média e mediana, já se pode falar algo sobre a simetria da distribuição de notas? Justifique.
c) A suspeita do item anterior é confirmada pelo boxplot? Justifique.
d) Há pontos aberrantes? Justifique.
Passo 1
O enunciado fornece uma amostra de
notas de alunos e pede, em (a), as medidas de posição (média, mediana, moda) e dispersão (variância) além dos quartis. Em (b) devemos inferir algo sobre a simetria comparando média e mediana; em (c) verificar essa suspeita pelo boxplot; em (d) checar existência de pontos aberrantes (outliers).
Passo 2
Calcular a média amostral
onde
e
, logo
Passo 3
Calcular a mediana como a média dos 20º e 21º valores ordenados. Da ordenação,
e
, então
Passo 4
Determinar a(s) moda(s) como valor(es) que ocorre(m) com maior frequência. As frequências mais altas são:
Logo trata-se de distribuição bimodal com modas
e
.
Passo 5
Calcular a variância amostral
Temos
,
, então
Passo 6
Calcular os quartis pelo método de separar as 40 observações em duas metades de 20.
Q1 é a média de e
:
Q1 é a média de
Q2 é a mediana já calculada
.
Q3 é a média de e
:
Q3 é a média de
Passo 7
Comparar média e mediana para julgar simetria:
.
Quando a média é menor que a mediana, há assimetria negativa (cauda mais longa à esquerda).
Quando a média é menor que a mediana, há assimetria negativa (cauda mais longa à esquerda).
Passo 8
No boxplot, o IQR
. Os limites dos bigodes são
Os valores máximo e mínimo reais (
e
) estão dentro desses limites. Além disso, o bigode inferior (de 56 a 72,5) é mais longo que o superior (de 88,5 a 98), confirmando a assimetria negativa.
Passo 9
Como não há pontos fora dos limites
e
, não existem pontos aberrantes na amostra.
Resposta
a)
b) Como mediana, a distribuição é assimetricamente negativa (cauda à esquerda).
c) O boxplot mostra bigode inferior maior e bigodes contidos nos limites sem outliers, confirmando assimetria negativa.
d) Não há pontos aberrantes, pois todos os valores estão dentro dos limites e
.
b) Como
c) O boxplot mostra bigode inferior maior e bigodes contidos nos limites sem outliers, confirmando assimetria negativa.
d) Não há pontos aberrantes, pois todos os valores estão dentro dos limites