Considere duas variáveis X e Y, onde barx e bary são suas médias e
sx^2=1n-1 sumi=1^n(xi-barx)^2 e sy^2=1n-1 sumi=1^n(yi-bary)^2
suas variâncias. Mostre que a variância sz^2 de uma nova variável Z=X-Y é tal que sz^2 neq sx^2+sy^2. Justifique.

Passo 1

O problema pede a variância amostral de Z = X - Y em termos de sx^2 e sy^2. O conteúdo envolve variância e covariância amostrais, pois a variância de soma ou diferença de variáveis requer levar em conta o termo de covariância. Vamos usar a definição
sz^2 = 1n-1sumi=1^nl(zi-bar zr)^2
e mostrar que, ao expandir, aparece um termo misto que impede sz^2 de ser simplesmente sx^2+sy^2.

Passo 2

Escrevemos Z=X-Y ponto a ponto:
zi=xi-yi
As médias satisfazem
bar z = 1nsumi=1^nzi = 1nsumi=1^n(xi-yi) = bar x - bar y

Passo 3

Pela definição,
sz^2 = 1n-1sumi=1^nl(zi-bar zr)^2 = 1n-1sumi=1^nl[(xi-bar x)-(yi-bar y)r]^2

Passo 4

Expandindo o quadrado temos
(zi-bar z)^2 = (xi-bar x)^2 + (yi-bar y)^2 - 2,(xi-bar x)(yi-bar y)
Somando sobre i e dividindo por n-1
sz^2 = underbrace1n-1sum (xi-bar x)^2sx^2 + underbrace1n-1sum (yi-bar y)^2sy^2 - 2,underbrace1n-1sum (xi-bar x)(yi-bar y)sxy

Passo 5

Denotando
sxy = 1n-1sumi=1^n(xi-bar x)(yi-bar y)
como a covariância amostral, concluímos
sz^2 = sx^2 + sy^2 - 2,sxy
Em geral sxyneq 0, logo
sz^2neq sx^2+sy^2,
a menos que X e Y sejam amostralmente não correlacionadas ( sxy=0).

Resposta

sz^2 = sx^2 + sy^2 - 2,sxy,
que em geral não é igual a sx^2+sy^2 devido ao termo de covariância sxy.

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