Considere duas variáveis e , onde e são suas médias e
suas variâncias. Mostre que a variância de uma nova variável é tal que . Justifique.
Passo 1
O problema pede a variância amostral de em termos de e . O conteúdo envolve variância e covariância amostrais, pois a variância de soma ou diferença de variáveis requer levar em conta o termo de covariância. Vamos usar a definição
e mostrar que, ao expandir, aparece um termo misto que impede de ser simplesmente .
Passo 2
Escrevemos ponto a ponto:
As médias satisfazem
Passo 3
Pela definição,
Passo 4
Expandindo o quadrado temos
Somando sobre e dividindo por
Passo 5
Denotando
sxy = 1n-1sumi=1^n(xi-bar x)(yi-bar y)
como a covariância amostral, concluímos
sz^2 = sx^2 + sy^2 - 2,sxy
Em geral sxyneq 0, logo
sz^2neq sx^2+sy^2,
a menos que X e Y sejam amostralmente não correlacionadas (sxy=0).
Resposta
sz^2 = sx^2 + sy^2 - 2,sxy,
que em geral não é igual a sx^2+sy^2 devido ao termo de covariância sxy.