Considere os dados de valor de revenda e custos operacionais de um carro, cujo valor quando novo é de $65.000 (valores em $1.000):
Ano 1 2 3 4 5
Revenda ((
))$ 47 41 34 28 24
Custos ((
))$ 4 7 11 16 21
Considerando a TMA de 10% a.a. avalie se é mais econômico:
a. Comprar um carro novo e ficar com ele 5 anos;
b. Comprar um carro com um ano de uso e vendê-lo com quatro anos de uso R. Alternativa b, C A U E=\ 21.488$ (Casarotto Filho; Kopittke, 2010)

Passo 1

O enunciado fornece o valor de compra de um carro novo ( 65 mil), os valores de revenda em cada ano e os custos operacionais anuais. Pede-se comparar duas alternativas usando o Custo Anual Uniforme Equivalente (CAUE) com taxa de 10\% ao ano:
a) comprar novo e ficar 5 anos;
b) comprar com 1 ano de uso e vender com 4 anos de uso.
Para cada alternativa, vamos:
  1. Calcular o valor presente dos fluxos de caixa (compra negativa, custos operacionais negativos e revenda positiva).
  2. Converter esse valor presente em uma anuidade usando o fator de capitalização uniforme \mathrm{CRF}(i,n)=\displaystyle\frac{i(1+i)^n}{(1+i)^n-1}.

Passo 2

Calcular o valor presente da alternativa (a):
PW_a = -65 \;-\;\sum_{k=1}^{5}\frac{\text{custo}_k}{(1{,}1)^k} \;+\;\frac{24}{(1{,}1)^5}.
Substituindo:
\sum_{k=1}^{5}\frac{\text{custo}_k}{(1{,}1)^k} = \frac{4}{1{,}1} + \frac{7}{1{,}1^2} + \frac{11}{1{,}1^3} + \frac{16}{1{,}1^4} + \frac{21}{1{,}1^5} \approx 41{,}66,
\frac{24}{1{,}1^5}\approx 14{,}91 \quad\Longrightarrow\quad PW_a \approx -65 -41{,}66 +14{,}91 = -91{,}75\\ (\text{mil}).

Passo 3

Converter PW_a em CAUE na vida de n=5 anos:
\mathrm{CRF}(10\%,5) = \frac{0,1\,(1{,}1)^5}{(1{,}1)^5-1} \approx 0{,}26380,
\mathrm{CAUE}_a = -PW_a \times 0{,}26380 \approx 91{,}75 \times 0{,}26380 = 24{,}20\\ (\text{mil}/\text{ano}).

Passo 4

Calcular o valor presente da alternativa (b): compra a 47 mil (revenda do carro de 1 ano) e revenda a 28 mil quando o carro tiver 4 anos, com custos nos anos 2, 3 e 4:
PW_b = -47 \;-\;\sum_{k=1}^{3}\frac{\text{custo}_{k+1}}{(1{,}1)^k} \;+\;\frac{28}{(1{,}1)^3}.
Numericamente:
\sum_{k=1}^{3}\frac{\text{custo}_{k+1}}{(1{,}1)^k} = \frac{7}{1{,}1} + \frac{11}{1{,}1^2} + \frac{16}{1{,}1^3} \approx 27{,}48, \quad \frac{28}{1{,}1^3}\approx 21{,}03,
PW_b \approx -47 -27{,}48 +21{,}03 = -53{,}45\\ (\text{mil}).

Passo 5

Converter PW_b em CAUE na vida de n=3 anos:
\mathrm{CRF}(10\%,3) = \frac{0,1\,(1{,}1)^3}{(1{,}1)^3-1} \approx 0{,}40211,
\mathrm{CAUE}_b = -PW_b \times 0{,}40211 \approx 53{,}45 \times 0{,}40211 = 21{,}49\\ (\text{mil}/\text{ano}),
o que coincide com o valor tabulado de 21{,}488 mil.

Passo 6

Comparando:
\mathrm{CAUE}_a \approx 24{,}20\;\text{mil/ano}, \quad \mathrm{CAUE}_b \approx 21{,}49\;\text{mil/ano}.
Como \mathrm{CAUE}_b<\mathrm{CAUE}_a, a alternativa (b) é mais econômica.

Resposta

A alternativa (b) é mais econômica, pois
\mathrm{CAUE}_a\approx R\$24{,}20 mil/ano e
\mathrm{CAUE}_b\approx R\$21{,}49 mil/ano.

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