Uma indústria siderúrgica dispõe de um tanque cilíndrico com 23 m de diâmetro e 3 m de altura, que será adaptado para funcionar como um clarificador (sedimentador usado com o objetivo de produzir um clarificado isento de sólidos). Sabe-se que a concentração de sólidos na alimentação e no lodo são, respectivamente, 6,7 \mathrm{~g} / \mathrm{l} \mathrm{e} 19 \mathrm{~g} / \mathrm{l}, que a densidade relativa dos sólidos em suspensão é 2,0 , e que um teste de proveta realizado com a referida suspensão, na mesma temperatura em que o clarificador irá operar, forneceu os seguintes resultados: Tempo de sedimentação ( t ) versus altura da interface de clarificação ( z )
\mathrm{t}(\mathrm{min}) 0 2,5 5 10 15 20 30 50 70
\mathrm{z}(\mathrm{cm}) 30 26,5 23,2 16,6 13,5 12,4 11,2 10,4 10,2
Determinar a capacidade máxima [SI] desse clarificador ao tratar as águas residuais de uma planta de decapagem ácida de chapas metálicas. (Lembre-se de que a área da seção transversal e a altura da zona de compactação do sedimentador disponível definem capacidades distintas). OBS: Recomendável a resolução utilizando regressão de potência.

Passo 1

O enunciado trata do dimensionamento de um clarificador cilíndrico de diâmetro interno D=23\:\mathrm{m} e altura total H=3\:\mathrm{m}, para uma alimentação com concentração de sólidos C_i=6{,}7\:\mathrm{g/L} e lodo compactado com concentração C_s=19\:\mathrm{g/L}. Foi feito um ensaio em proveta medindo a altura da interface de clarificação z em função do tempo t, e pede-se a vazão máxima de projeto (capacidade) do clarificador. Usaremos:
  1. Cálculo da altura de zona de compactação no clarificador por proporcionalidade de concentrações;
  2. Dados t\times z convertidos para velocidade de sedimentação v em função de z;
  3. Regressão de potência do tipo
v = k\,z^n
  1. Cálculo das vazões-baseadas em zona de clarificação livre (overflow) e em zona de compactação, e escolha da menor como vazão máxima.

Passo 2

Determinar a altura da zona de lodo compactado no clarificador. Em escala de proveta, o ensaio deu z_0=30\:\mathrm{cm} iniciais e z_f\approx10{,}2\:\mathrm{cm} finais, compatível com
H_{\rm comp} \;=\;\frac{C_i}{C_s}\,H \;=\;\frac{6{,}7}{19}\times3 \;=\;1{,}0578\:\mathrm{m}.
Logo a altura de zona de clarificação livre é
H_{\rm livre} \;=\;H - H_{\rm comp} \;=\;3 - 1{,}0578 \;=\;1{,}9422\:\mathrm{m}.

Passo 3

Converter os dados t (min) e z (cm) para t em s e z em m, calcular em cada intervalo a velocidade média de sedimentação
v \;=\;-\frac{\Delta z}{\Delta t},
usando o valor médio de z no intervalo como abscissa. Exemplo do primeiro intervalo:
\Delta t = 2{,}5\:\mathrm{min}=150\:\mathrm{s},\quad \Delta z = 0{,}265 - 0{,}300 = -0{,}035\:\mathrm{m}, \quad v = 0{,}035/150 = 2{,}33\times10^{-4}\:\mathrm{m/s}.
Repetindo para todos os 8 intervalos, obtêm-se pares \bigl(z_{\rm mid},v\bigr).

Passo 4

Fazer regressão linear em escala log–log, isto é definir x=\ln z_{\rm mid} e y=\ln v e ajustar
y = \ln k + n\,x.
Dos cálculos de somatórios obteve-se
n = 3{,}24,\qquad \ln k = -4{,}0645 \quad\Longrightarrow\quad k = e^{-4{,}0645}=0{,}0171.
Assim a lei de velocidade é
\boxed{v(z) = 0{,}0171\;z^{3{,}24}}\quad \bigl[z\text{ em m},\,v\text{ em m/s}\bigr].

Passo 5

Calcular a vazão de overflow (zona de clarificação livre). A área da seção transversal do clarificador é
A = \pi\bigl(\tfrac{D}{2}\bigr)^2 = \pi(11{,}5)^2 = 415{,}47\:\mathrm{m^2}.
A velocidade de sedimentação na interface inicial z=H_{\rm livre}=1{,}9422\:\mathrm{m} vale
v_0 = 0{,}0171\,(1{,}9422)^{3{,}24} \approx 0{,}1476\:\mathrm{m/s}.
Logo a vazão máxima por overflow é
Q_{\rm livre} = A\,v_0 = 415{,}47\times0{,}1476 \approx 61{,}3\:\mathrm{m^3/s} \;(\approx2{,}21\times10^5\:\mathrm{m^3/h}).

Passo 6

Calcular a vazão baseada na zona de compactação. A velocidade em z=H_{\rm comp}=1{,}0578\:\mathrm{m} é
v_{\rm comp} = 0{,}0171\,(1{,}0578)^{3{,}24} \approx 0{,}0205\:\mathrm{m/s}.
A vazão admissível é
Q_{\rm comp} = A\,v_{\rm comp} = 415{,}47\times0{,}0205 \approx 8{,}53\:\mathrm{m^3/s} \;(\approx3{,}07\times10^4\:\mathrm{m^3/h}).

Passo 7

A capacidade máxima do clarificador é o mínimo entre Q_{\rm livre} e Q_{\rm comp}, pois o clarificador só funciona enquanto nenhuma zona estiver sobrecarregada. Assim
\boxed{Q_{\max} = Q_{\rm comp} = 8{,}53\:\mathrm{m^3/s} \;\approx\;3{,}07\times10^4\:\mathrm{m^3/h}.}

Resposta

A vazão máxima de projeto é
\boxed{Q_{\max}=8{,}53\:\mathrm{m^3/s}\quad(\approx3{,}07\times10^4\:\mathrm{m^3/h}).}

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