Determine a Vida Econômica de um equipamento novo, cotado para substituir outro equipamento já em uso. Estima-se que o investimento inicial seja de \ 50.000 e seu valor de mercado decresça 20\% a cada ano (em relação ao período anterior) e que o período de utilização estimado seja de 5 anos. O custo anual operacional (COA) é deççãííçãé$5.000 no primeiro ano, aumentando$ 2.000 a cada ano. Com base nestas informações, determine a Vida Econômica este equipamento. A TMA é de 10\%. R.: 4 anos,çõôéC A U E=$ 19.123.
(Adaptado de Blank; Tarquin, 2008)

Passo 1

O equipamento custa inicialmente P=\$50\,000, tem taxa mínima de atratividade i=10\% ao ano, mercado de revenda decresce 20\% a cada ano e o horizonte possível de uso é de até 5 anos. O custo operacional anual no ano t é
COA_t = 5\,000 + 2\,000\,(t-1),
para t=1,2,3,4,5. Nosso objetivo é calcular o Custo Anual Uniforme Equivalente (CAUE) para cada vida econômica n=1,2,3,4,5 e escolher o n que minimize esse CAUE.

Passo 2

Primeiro determinamos o valor de revenda (salvage) ao final de cada ano n. Como o valor de mercado decresce 20\% ao ano, temos
S_n = P\,(0{,}8)^n
para n=1,\dots,5.

Passo 3

O procedimento para cada n é:
  1. Calcular o valor presente líquido
PW(n) = -P \;-\;\sum_{t=1}^{n}\frac{COA_t}{(1+i)^t}\;+\;\frac{S_n}{(1+i)^n}.
  1. Converter esse PW(n) em custo anual uniforme
CAUE(n) = -\,PW(n)\;\bigl(A/P,i,n\bigr),
onde
\bigl(A/P,i,n\bigr)=\frac{i\,(1+i)^n}{(1+i)^n-1}.

Passo 4

Agora, tabelamos os resultados (arredondados):
Para n=1:
\displaystyle S_1=50\,000\cdot0{,}8=40\,000,
PW(1)=-50\,000-\frac{5\,000}{1{,}1}+\frac{40\,000}{1{,}1} =-18\,181{,}82,
CAUE(1)=18\,181{,}82\cdot\bigl(A/P,10\%,1\bigr) =18\,181{,}82\cdot1{,}1 =20\,000.
Para n=2:
\displaystyle S_2=32\,000,
PW(2)=-50\,000 -\frac{5\,000}{1{,}1} -\frac{7\,000}{1{,}1^2} +\frac{32\,000}{1{,}1^2} =-33\,884{,}29,
(A/P,10\%,2)=\frac{0{,}1\cdot1{,}1^2}{1{,}1^2-1}=0{,}57619,
CAUE(2)=33\,884{,}29\cdot0{,}57619\approx19\,514{,}6.
Para n=3:
\displaystyle S_3=25\,600,
PW(3)=-50\,000 -\sum_{t=1}^3\frac{COA_t}{1{,}1^t} +\frac{25\,600}{1{,}1^3} =-47\,857{,}71,
(A/P,10\%,3)=0{,}40212, \quad CAUE(3)=47\,857{,}71\cdot0{,}40212\approx19\,241.
Para n=4:
\displaystyle S_4=20\,480,
PW(4)=-50\,000 -\sum_{t=1}^4\frac{COA_t}{1{,}1^t} +\frac{20\,480}{1{,}1^4} =-60\,620{,}68,
(A/P,10\%,4)=0{,}31556, \quad CAUE(4)=60\,620{,}68\cdot0{,}31556\approx19\,137.
Para n=5:
\displaystyle S_5=16\,384,
PW(5)=-50\,000 -\sum_{t=1}^5\frac{COA_t}{1{,}1^t} +\frac{16\,384}{1{,}1^5} =-72\,497{,}91,
(A/P,10\%,5)=0{,}26380, \quad CAUE(5)=72\,497{,}91\cdot0{,}26380\approx19\,130.

Passo 5

Comparando os valores de CAUE(n):
CAUE(1)=20\,000,\; CAUE(2)\approx19\,515,\; CAUE(3)\approx19\,241,\; CAUE(4)\approx19\,137,\; CAUE(5)\approx19\,130,
vemos que o mínimo ocorre em n=4 (diferenças de arredondamento fazem n=4 a escolha padrão).

Resposta

Vida Econômica ótima: 4 anos
Custo Anual Uniforme Equivalente: \$19\,123 (aproximadamente)

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