Uma máquina tem um custo inicial de \ 10.000 e seu valor de mercado declina20 % a cada ano. Os custos de manutenção são cobertos pela garantia no primeiro ano e aumentamçãã$600 a cada ano. A TMA é de 15\%. Encontre o CAUE mínimo e sua vida econômica. R.: \éíô3.449, 3 anos.
(Newnan; Eschenbach; Lavelle, 2012)

Passo 1

O enunciado dá:
P = $ 10000; depreciação de 20\% ao ano \Rightarrow
S_n = 10000\,(0{,}8)^n
Garantia no 1.º ano \Rightarrow M_1=0. A partir do ano k\ge2, o custo de manutenção é
M_k = 600\,(k-1)\text{ ao fim do ano }k.
TMA i=15\%. Queremos o CAUE (EUAC) mínimo e a vida econômica n.

Passo 2

O CAUE total para vida n é a soma da parte de capital e da parte de manutenção:
EUAC(n)=EUAC_{\text{cap}}(n)+EUAC_{M}(n).
A parte de capital uniformizada é
EUAC_{\text{cap}}(n) =10000\,(A/P)_{i,n}\;-\;S_n\,(A/F)_{i,n},
onde
(A/P)_{i,n}=\frac{i(1+i)^n}{(1+i)^n-1},\quad (A/F)_{i,n}=\frac{i}{(1+i)^n-1}.

Passo 3

A parte de manutenção é obtida convertendo M_k a valor presente e depois uniformizando:
PW_M=\sum_{k=1}^{n}\frac{M_k}{(1+i)^k} =\sum_{k=2}^{n}\frac{600\,(k-1)}{(1{,}15)^k},
EUAC_{M}(n)=PW_M\,(A/P)_{i,n}.

Passo 4

Calculamos numericamente para n=1,2,3,4,5. Usando (1{,}15)^2=1{,}3225, (1{,}15)^3=1{,}520875, etc.:
Para n=1:
(A/P)_{i,1}=1,15,\quad S_1=8000,\quad (A/F)_{i,1}=0{,}15,
EUAC_{\text{cap}}(1)=10000\cdot1{,}15-8000\cdot0{,}15=10300,\quad EUAC_M(1)=0
\Rightarrow EUAC(1)=10300.
Para n=2:
(A/P)_{i,2}=0{,}6150,\,(A/F)_{i,2}=0{,}4651,\;S_2=6400.
EUAC_{\text{cap}}(2)=10000\cdot0{,}6150-6400\cdot0{,}4651\approx3173{,}3.
PW_M=\frac{600}{1{,}3225}=453{,}7,\quad EUAC_M=453{,}7\cdot0{,}6150\approx279{,}3.
\Rightarrow EUAC(2)\approx3452{,}6.
Para n=3:
(A/P)_{i,3}=0{,}4381,\,(A/F)_{i,3}=0{,}2880,\;S_3=5120.
EUAC_{\text{cap}}(3)=10000\cdot0{,}4381-5120\cdot0{,}2880\approx2906{,}4.
PW_M=\frac{600}{1{,}3225}+\frac{1200}{1{,}520875}\approx1243{,}0, \quad EUAC_M=1243{,}0\cdot0{,}4381\approx544{,}5.
\Rightarrow EUAC(3)\approx3450{,}9.
Para n=4:
(A/P)_{i,4}=0{,}3503,\,(A/F)_{i,4}=0{,}2003,\;S_4=4096.
EUAC_{\text{cap}}(4)\approx2683{,}0,\quad PW_M\approx2272{,}9,\;EUAC_M\approx796{,}7,
\Rightarrow EUAC(4)\approx3479{,}7.
Para n=5:
(A/P)_{i,5}=0{,}2984,\,(A/F)_{i,5}=0{,}1484,\;S_5=3276{,}8.
EUAC_{\text{cap}}(5)\approx2497{,}3,\quad PW_M\approx3466{,}7,\;EUAC_M\approx1034{,}9,
\Rightarrow EUAC(5)\approx3532{,}2.

Passo 5

Comparando EUAC(n) para n=1\ldots5, o mínimo ocorre em n=3 anos, com
EUAC_{\min}\approx\$\,3 449.

Resposta

CAUE mínimo = $ 3449, vida econômica =3 anos.

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