Considere os dados
1,6
2
2,5
3,2
4
4,5
2
8
14
15
8
2
Calcule
usando polinômios interpoladores de Newton de primeiro e segundo graus. Escolha seus pontos base para obter uma boa acurácia. (Lembre, para polinômio de grau
são necessários
pontos.)
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1,6 | 2 | 2,5 | 3,2 | 4 | 4,5 |
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2 | 8 | 14 | 15 | 8 | 2 |
Passo 1
O enunciado fornece os pares
:
O que se pede:
- Calcular
usando um polinômio interpolador de Newton de grau (reta entre dois pontos). - Calcular
usando um polinômio interpolador de Newton de grau (quadrático com três pontos).
Observações importantes extraídas do enunciado: para um polinômio de grauusa-se pontos; deve-se escolher pontos base que garantam boa acurácia.
Passo 2
Comentário sobre a escolha dos pontos (regra prática): para interpolar em
é melhor usar pontos próximos a
porque isso costuma reduzir o erro local. Os valores de
mais próximos de
no conjunto são
,
e, em seguida,
. Portanto:
- Para o polinômio de grau
(reta) escolho os dois pontos mais próximos que “abraçam” : e . - Para o polinômio de grau
(quadrático) escolho os três pontos mais próximos: , e .
Essa escolha tende a dar boa acurácia porque são os pontos vizinhos de.
Passo 3
Interpolador de Newton de grau
(reta) — fórmula e aplicação.
- Teoria rápida: a reta que passa por
e pode ser escrita como
onde a inclinação é
Aqui tomo
e
.
- Calcular a inclinação:
- Construir
e avaliar em :
Calculemos exatamente:
Portanto
Passo 4
Interpolador de Newton de grau
— definição (forma de Newton) e divididas diferenças.
- Forma de Newton de grau
com nós :
onde as diferenças divididas são definidas por
Esses
são exatamente os coeficientes da forma de Newton.
Passo 5
Calcular as diferenças divididas usando
com
.
- Zeroth order:
- Primeiras diferenças:
- Segunda diferença:
Calcule o numerador e o denominador separadamente:
Logo
Passo 6
Construir
e avaliar em
.
- Pondo os coeficientes:
- Avaliar em
: primeiro calcule os fatores lineares
- Calcule cada termo:
- Somando tudo:
Para expressão em frações comuns:
e
. Então
Passo 7
Comentário final e interpretação rápida:
- Resultado linear (grau
) usa apenas os dois pontos mais próximos e dá . - Resultado quadrático (grau
) usa três pontos próximos e dá .
Normalmente o polinômio de graudeve dar resposta mais precisa localmente (se os três pontos realmente seguem um comportamento suave), contudo a diferença numérica mostra que a escolha dos pontos e a curvatura dos dados fazem o valor variar; se for necessário mais precisão na prova, pode-se estimar o erro com a forma do resto de interpolação (termo com derivada de ordem ) ou usar mais pontos e polinômio de grau maior com cuidado.
Resposta
Grau 1 (reta entre
e
):
Grau 2 (quadrático com
):