Considere os dados
x 1,6 2 2,5 3,2 4 4,5
f(x) 2 8 14 15 8 2
Calcule f(2,8) usando polinômios interpoladores de Newton de primeiro e segundo graus. Escolha seus pontos base para obter uma boa acurácia. (Lembre, para polinômio de grau n são necessários n+1 pontos.)

Passo 1

O enunciado fornece os pares (x,f(x)):
(1{,}6,\,2),\\ (2,\,8),\\ (2{,}5,\,14),\\ (3{,}2,\,15),\\ (4,\,8),\\ (4{,}5,\,2).
O que se pede:
  • Calcular f(2{,}8) usando um polinômio interpolador de Newton de grau 1 (reta entre dois pontos).
  • Calcular f(2{,}8) usando um polinômio interpolador de Newton de grau 2 (quadrático com três pontos).
    Observações importantes extraídas do enunciado: para um polinômio de grau n usa-se n+1 pontos; deve-se escolher pontos base que garantam boa acurácia.

Passo 2

Comentário sobre a escolha dos pontos (regra prática): para interpolar em x=2{,}8 é melhor usar pontos próximos a 2{,}8 porque isso costuma reduzir o erro local. Os valores de x mais próximos de 2{,}8 no conjunto são 2{,}5, 3{,}2 e, em seguida, 2. Portanto:
  • Para o polinômio de grau 1 (reta) escolho os dois pontos mais próximos que “abraçam” 2{,}8: (2{,}5,\,14) e (3{,}2,\,15).
  • Para o polinômio de grau 2 (quadrático) escolho os três pontos mais próximos: (2,\,8), (2{,}5,\,14) e (3{,}2,\,15).
    Essa escolha tende a dar boa acurácia porque são os pontos vizinhos de 2{,}8.

Passo 3

Interpolador de Newton de grau 1 (reta) — fórmula e aplicação.
  • Teoria rápida: a reta que passa por (x_0,y_0) e (x_1,y_1) pode ser escrita como
P_1(x)=y_0 + m\,(x-x_0),
onde a inclinação é
m=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}.
Aqui tomo x_0=2{,}5,\\ y_0=14 e x_1=3{,}2,\\ y_1=15.
  • Calcular a inclinação:
m=\frac{15-14}{3{,}2-2{,}5}=\frac{1}{0{,}7}=\frac{10}{7}.
  • Construir P_1 e avaliar em x=2{,}8:
P_1(2{,}8)=14+\frac{10}{7}\,(2{,}8-2{,}5)=14+\frac{10}{7}\cdot 0{,}3.
Calculemos exatamente:
\frac{10}{7}\cdot 0{,}3=\frac{10}{7}\cdot\frac{3}{10}=\frac{3}{7}.
Portanto
P_1(2{,}8)=14+\frac{3}{7}=\frac{101}{7}\approx 14{,}428571\ldots

Passo 4

Interpolador de Newton de grau 2 — definição (forma de Newton) e divididas diferenças.
  • Forma de Newton de grau 2 com nós x_0,x_1,x_2:
P_2(x)=f[x_0]+f[x_0,x_1](x-x_0)+f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1),
onde as diferenças divididas são definidas por
f[x_i]=f(x_i), \qquad f[x_i,x_j]=\frac{f(x_j)-f(x_i)}{x_j-x_i},
f[x_i,x_j,x_k]=\frac{f[x_j,x_k]-f[x_i,x_j]}{x_k-x_i}.
Esses f[\cdot] são exatamente os coeficientes da forma de Newton.

Passo 5

Calcular as diferenças divididas usando x_0=2,\\ x_1=2{,}5,\\ x_2=3{,}2 com f(2)=8,\\ f(2{,}5)=14,\\ f(3{,}2)=15.
  • Zeroth order:
f[x_0]=f(2)=8.
  • Primeiras diferenças:
f[x_0,x_1]=\frac{14-8}{2{,}5-2}=\frac{6}{0{,}5}=12.
f[x_1,x_2]=\frac{15-14}{3{,}2-2{,}5}=\frac{1}{0{,}7}=\frac{10}{7}.
  • Segunda diferença:
f[x_0,x_1,x_2]=\frac{f[x_1,x_2]-f[x_0,x_1]}{x_2-x_0} =\frac{\dfrac{10}{7}-12}{3{,}2-2}.
Calcule o numerador e o denominador separadamente:
\dfrac{10}{7}-12=\dfrac{10}{7}-\dfrac{84}{7}=-\dfrac{74}{7}, \qquad 3{,}2-2=1{,}2=\frac{6}{5}.
Logo
f[x_0,x_1,x_2]=\left(-\frac{74}{7}\right)\div\frac{6}{5} =-\frac{74}{7}\cdot\frac{5}{6}=-\frac{370}{42}=-\frac{185}{21}.

Passo 6

Construir P_2(x) e avaliar em x=2{,}8.
  • Pondo os coeficientes:
P_2(x)=8 + 12(x-2) -\frac{185}{21}(x-2)(x-2{,}5).
  • Avaliar em x=2{,}8: primeiro calcule os fatores lineares
x-2=0{,}8,\qquad x-2{,}5=0{,}3,\qquad (x-2)(x-2{,}5)=0{,}8\cdot0{,}3=0{,}24=\frac{6}{25}.
  • Calcule cada termo:
12(x-2)=12\cdot0{,}8=9{,}6,
-\frac{185}{21}\cdot 0{,}24=-\frac{185}{21}\cdot\frac{6}{25}=-\frac{1110}{525}=-\frac{74}{35}.
  • Somando tudo:
P_2(2{,}8)=8+9{,}6-\frac{74}{35}.
Para expressão em frações comuns: 8=\frac{280}{35} e 9{,}6=\frac{48}{5}=\frac{336}{35}. Então
P_2(2{,}8)=\frac{280}{35}+\frac{336}{35}-\frac{74}{35}=\frac{542}{35}\approx 15{,}485714\ldots

Passo 7

Comentário final e interpretação rápida:
  • Resultado linear (grau 1) usa apenas os dois pontos mais próximos e dá \dfrac{101}{7}\approx14{,}4286.
  • Resultado quadrático (grau 2) usa três pontos próximos e dá \dfrac{542}{35}\approx15{,}4857.
    Normalmente o polinômio de grau 2 deve dar resposta mais precisa localmente (se os três pontos realmente seguem um comportamento suave), contudo a diferença numérica mostra que a escolha dos pontos e a curvatura dos dados fazem o valor variar; se for necessário mais precisão na prova, pode-se estimar o erro com a forma do resto de interpolação (termo com derivada de ordem 3) ou usar mais pontos e polinômio de grau maior com cuidado.

Resposta

Grau 1 (reta entre 2{,}5 e 3{,}2): f(2{,}8)=\dfrac{101}{7}\approx 14{,}428571
Grau 2 (quadrático com 2,\\\ 2{,}5,\\\ 3{,}2): f(2{,}8)=\dfrac{542}{35}\approx 15{,}485714

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