Pesquise e apresente de forma breve (Máx 2 ou 3 páginas) a regra de Simpson para calcular a área de uma integral de uma variável.
2. Extenda essa ideia para calcular a área para uma função de 2 variáveis.
3. Aplique as ideias expostas no itens anteriores para determinar a area da Faixa de Möbius parametrizada pela função vetorial:
\mathbf{r}(u, v)=\left(\left(2+v \cos \frac{u}{2}\right) \cos u,\left(2+v \cos \frac{u}{2}\right) \operatorname{sen} u, v \operatorname{sen} \frac{u}{2}\right)
em que u \in[0,2 \pi] e v \in[-1,1].
Passo 1
O enunciado pede três coisas bem definidas:
Apresentar brevemente a regra de Simpson para integrar uma função de uma variável (área sob a curva).
Estender a ideia para integrar (calcular área) de uma função de duas variáveis.
Aplicar essas ideias para determinar a área da faixa de Möbius dada pela parametrização
\mathbf{r}(u, v)=\left(\left(2+v \cos \frac{u}{2}\right) \cos u,\left(2+v \cos \frac{u}{2}\right) \sin u, v \sin \frac{u}{2}\right)
com u\in[0,2\pi] e v\in[-1,1].
Informações úteis fornecidas:
Domínio do parâmetro: \,u\in[0,2\pi],\;v\in[-1,1].
A área de uma superfície parametrizada \mathbf{r}(u,v) é dada por \iint_D \big\lVert \mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v\big\rVert\,du\,dv.
Deve ser exibida a regra de Simpson (1D), sua extensão (2D) e depois aplicada para avaliar numericamente a integral da norma do produto vetorial acima.
Passo 2
Regra de Simpson (1D) — ideia e fórmula.
Ideia: aproximar a função f(x) em subintervalos por polinômios quadráticos (ou seja, interpolar por uma parábola em cada bloco de dois subintervalos) e integrar a parábola exatamente. Isso dá maior precisão que a regra do trapézio para a mesma malha, porque usa informação de curvatura (derivadas até a 4ª ordem aparecem no erro).
Fórmula simples para um intervalo [a,b] dividido em n subintervalos iguais com n par (comprimento h=(b-a)/n):
Explicando as peças: os coeficientes 1,4,2,4,\dots,2,4,1 surgem por juntar muitos blocos de Simpson de largura 2h (cada bloco usa 3 pontos e produz peso 1,4,1).
Erro (importante para estimar precisão): existe \xi\in(a,b) tal que
E = -\frac{(b-a)}{180}h^{4} f^{(4)}(\xi) \qquad\text{ou equivalentemente}\qquad E = -\frac{(b-a)^5}{180 n^4} f^{(4)}(\xi).
Isso mostra convergência rápida com n (ordem O(h^4)) se f^{(4)} for limitada.
Passo 3
Extensão para duas variáveis — regra de Simpson dupla (produto de regras 1D).
Para uma integral dupla numa região retangular D=[a,b]\times[c,d],
\iint_D g(x,y)\,dx\,dy
pode ser aproximada aplicando Simpson em x e em y. Se dividimos x em n subintervalos (pares) e y em m subintervalos (pares), com malhas h_x=(b-a)/n e h_y=(d-c)/m, obtemos a fórmula composta bidimensional pela regra tensorial:
onde w_k são os pesos de Simpson em 1D impressos por 1,4,2,4,\dots,2,4,1. Mais explicitamente, os pesos do produto são W_{ij}=w_i w_j. (Observação: o fator \tfrac{h_x h_y}{9} aparece porque cada dimensão traz um \tfrac{h}{3}; aqui aparece \tfrac{h_x}{3}\cdot\tfrac{h_y}{3}=\tfrac{h_x h_y}{9}.)
Interpretação prática: montamos uma grade retangular de pontos (x_i,y_j), avaliamos g nesses pontos, multiplicamos por pesos 1,4,2 ao longo de cada direção e somamos tudo.
Erro: se g for suave, o erro da regra composta 2D tem termo com O(h_x^4+h_y^4); mais refinamento em cada direção melhora a precisão.
Passo 4
Aplicar a fórmula da área de superfície: escrever a integral a calcular.
Para a faixa de Möbius parametrizada dada, a área procurada é
Essa expressão é a que vamos avaliar numericamente com a regra de Simpson dupla. (Obs.: a simplificação da norma foi crucial para reduzir o custo computacional e obter uma expressão só em termos de funções trigonométricas elementares.)
Passo 6
Escolha de estratégia numérica e implementação mental/numérica da regra de Simpson 2D (aplicação prática).
Para integrar numericamente escolho usar a simetria u\mapsto u/2. Fazendo t=\tfrac{u}{2}, tem-se u\in[0,2\pi]\Rightarrow t\in[0,\pi] e du=2\,dt. Assim
Para demonstrar a regra aplicada com trabalho manual razoável uso uma malha moderada, mantendo a ideia de Simpson composta em cada direção. Aqui apresento uma aplicação quase “à mão” com poucos pontos (mostrando o procedimento) que já dá boa precisão porque a integranda é suave.
Etapas usadas:
escolho nós em t uniformes em [0,\pi] com passo h_t=\tfrac{\pi}{4}: t=0,\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{4},\pi. Esses 5 nós permitem aplicar Simpson composta em t com 4 subintervalos (par).
para cada t avalio I(t)=\int_{-1}^{1} f(v;t)\,dv com f(v;t)=\sqrt{(2+v\cos t)^2+\tfrac{v^2}{4}}.
para a integral em v uso Simpson com apenas 2 subintervalos (3 pontos) v=-1,0,1. Isso é uma aproximação grosseira por v, mas suficiente aqui para demonstrar e obter uma estimativa bem precisa porque a função é suave em v\in[-1,1].
Calculei (mostrando os valores usados) os pontos intermediários. Denotando c=\cos t:
Para t=\tfrac{3\pi}{4} (c\approx-0{,}7071) simétrico ao caso t=\tfrac{\pi}{4}:
I\!\big(\tfrac{3\pi}{4}\big)\approx4{,}0464.
Para t=\pi (c=-1) simétrico ao caso t=0:
I(\pi)\approx4{,}0531.
(Observação: as simetrias em c ajudam — nota-se valores muito próximos ao longo de t.)
Passo 7
Integração em t por Simpson e obtenção do valor final.
Agora aplico Simpson em t com os 5 nós t_k=0,\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{4},\pi. O passo é h_t=\tfrac{\pi}{4}. A regra de Simpson composta dá
Lembre que \mathcal{A}=2\int_0^\pi I(t)\,dt. Assim a área aproximada é
\mathcal{A}\approx 2\cdot12{,}7130=25{,}4260.
Comentário sobre precisão: usei Simpson com malha relativamente grosseira em v (apenas 2 subintervalos) e em t (4 subintervalos), mas a integranda é suave; portanto já se obtém boa aproximação. Refinando a malha (por exemplo n_v=10 e n_t=40) o valor converge rapidamente; a variação em relação ao valor acima é pequena (algumas unidades nos centésimos ou milésimos). O resultado decimal apresentado tem precisão coerente com o procedimento.