Considere os dados
1
2
3
5
7
8
3
6
19
99
291
444
Calcule
usando polinômios interpoladores de Newton de primeiro e segundo graus. Escolha seus pontos base para obter uma boa acurácia. (Lembre, para polinômio de grau
são necessários
pontos.)
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1 | 2 | 3 | 5 | 7 | 8 |
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3 | 6 | 19 | 99 | 291 | 444 |
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Calcular
usando polinômios interpoladores de Newton de primeiro grau e de segundo grau. - Escolher pontos base (isto é, os pontos
usados para construir cada polinômio) de modo a obter boa acurácia.
Dados fornecidos (peguei estes pares da tabela do enunciado):
-
.
Observação importante para a resolução: para um polinômio interpolador de grau
são necessários
pontos. Como queremos avaliar em
, faz sentido escolher pontos próximos a
para melhorar a acurácia.
Passo 2
Breve aula: forma de Newton do polinômio interpolador e diferenças divididas.
- A forma de Newton de um polinômio interpolador de grau
construído sobre pontos é
Aqui cada coeficiente
é uma diferença dividida (um número que depende apenas dos
e dos
).
- Definição das diferenças divididas:
e assim por diante. Cada nível usa os valores do nível anterior e divide pela largura do intervalo entre os pontos extremos.
- Por que usar a forma de Newton? Porque é prática para acrescentar termos (diferenças divididas) e para avaliar em um ponto usando pontos base ordenados. Além disso, se escolhermos pontos próximos do ponto de interesse, a interpolação costuma ser mais precisa.
Passo 3
Escolha dos pontos base (justificativa):
- Para o polinômio de primeiro grau (reta interpoladora) precisamos de
pontos. Os pontos mais próximos de são e . Então escolho e . - Para o polinômio de segundo grau precisamos de
pontos. Escolho os três pontos mais próximos de , que são (distâncias a : ). Então escolho .
Essas escolhas minimizam a distância dos pontos a, o que normalmente melhora a acurácia da interpolação local.
Passo 4
Interpolador de Newton de grau
(reta entre
e
) — cálculo detalhado.
- Primeiro calcular a diferença dividida de ordem 1 entre
e :
- A forma de Newton de grau
com é
Substituindo os números:
- Avaliando em
:
Portanto, o interpolador linear (grau
) fornece
.
Passo 5
Explicação rápida do raciocínio por trás do passo anterior:
- A diferença dividida
é a inclinação (coeficiente angular) da reta que passa por e . - A reta no ponto
tem valor ; ao avançar uma unidade até incrementa-se , chegando a .
Passo 6
Interpolador de Newton de grau
com pontos
— passo a passo com diferenças divididas.
- Nível 0 (valores):
- Nível 1 (diferenças divididas entre pares adjacentes):
(Observe que já tínhamos calculado
no passo anterior; aqui reafirmamos.)
- Nível 2 (diferença dividida de segunda ordem usando os extremos
e ):
- A forma de Newton de grau
com é
Substituindo os coeficientes:
Passo 7
Avaliação do polinômio quadrático em
(contas detalhadas, passo a passo):
- Calcule
e em :
- Então
- Calculando cada termo:
- Somando:
Portanto, o interpolador quadrático (grau
) fornece
.
Passo 8
Comentário interpretativo e dica prática (curto, motivacional):
- Temos duas estimativas: pela reta entre
e obteve-se , e pelo polinômio quadrático sobre obteve-se . - Em geral, para estimar
num ponto interno como , usar um polinômio de grau maior com pontos próximos tende a melhorar a aproximação — mas cuidado: grau muito alto pode causar oscilações se os pontos forem distantes ou ruidosos. Aqui o grau com pontos próximos trouxe uma estimativa diferente da linear; qual é “melhor” depende do comportamento real da função, mas a escolha dos pontos feita (próximos a ) é sensata.
Vai dar tudo certo na prova — respira, pratica mais alguns exercícios rápidos assim e fica mais confiante!
Resposta
Polinômio de grau 1 (usando
):
Polinômio de grau 2 (usando ):
Polinômio de grau 2 (usando