Considere os dados
x 1 2 3 5 7 8
f(x) 3 6 19 99 291 444
Calcule f(4) usando polinômios interpoladores de Newton de primeiro e segundo graus. Escolha seus pontos base para obter uma boa acurácia. (Lembre, para polinômio de grau n são necessários n+1 pontos.)

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Calcular f(4) usando polinômios interpoladores de Newton de primeiro grau e de segundo grau.
  • Escolher pontos base (isto é, os pontos x usados para construir cada polinômio) de modo a obter boa acurácia.
Dados fornecidos (peguei estes pares da tabela do enunciado):
  • (x,f(x)) = (1,3),\\ (2,6),\\ (3,19),\\ (5,99),\\ (7,291),\\ (8,444).
Observação importante para a resolução: para um polinômio interpolador de grau n são necessários n+1 pontos. Como queremos avaliar em x=4, faz sentido escolher pontos próximos a 4 para melhorar a acurácia.

Passo 2

Breve aula: forma de Newton do polinômio interpolador e diferenças divididas.
  • A forma de Newton de um polinômio interpolador de grau n construído sobre pontos (x_0,f(x_0)),\dots,(x_n,f(x_n)) é
P_n(x)=f(x_0)+f[x_0,x_1](x-x_0)+f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1)+\cdots.
Aqui cada coeficiente f[x_{i},\dots,x_{j}] é uma diferença dividida (um número que depende apenas dos f(x_k) e dos x_k).
  • Definição das diferenças divididas:
f[x_i]=f(x_i),
f[x_i,x_{i+1}]=\frac{f(x_{i+1})-f(x_i)}{x_{i+1}-x_i},
f[x_i,x_{i+1},x_{i+2}]=\frac{f[x_{i+1},x_{i+2}]-f[x_i,x_{i+1}]}{x_{i+2}-x_i},
e assim por diante. Cada nível usa os valores do nível anterior e divide pela largura do intervalo entre os pontos extremos.
  • Por que usar a forma de Newton? Porque é prática para acrescentar termos (diferenças divididas) e para avaliar em um ponto usando pontos base ordenados. Além disso, se escolhermos pontos próximos do ponto de interesse, a interpolação costuma ser mais precisa.

Passo 3

Escolha dos pontos base (justificativa):
  • Para o polinômio de primeiro grau (reta interpoladora) precisamos de 2 pontos. Os pontos mais próximos de x=4 são x=3 e x=5. Então escolho (3,19) e (5,99).
  • Para o polinômio de segundo grau precisamos de 3 pontos. Escolho os três pontos mais próximos de 4, que são x=2,3,5 (distâncias a 4: 2,1,1). Então escolho (2,6),\\ (3,19),\\ (5,99).
    Essas escolhas minimizam a distância dos pontos a x=4, o que normalmente melhora a acurácia da interpolação local.

Passo 4

Interpolador de Newton de grau 1 (reta entre x=3 e x=5) — cálculo detalhado.
  • Primeiro calcular a diferença dividida de ordem 1 entre x=3 e x=5:
f[3,5]=\frac{f(5)-f(3)}{5-3}=\frac{99-19}{2}=\frac{80}{2}=40.
  • A forma de Newton de grau 1 com x_0=3 é
P_1(x)=f(3)+f[3,5](x-3).
Substituindo os números:
P_1(x)=19+40(x-3).
  • Avaliando em x=4:
P_1(4)=19+40(4-3)=19+40=59.
Portanto, o interpolador linear (grau 1) fornece f(4)\approx 59.

Passo 5

Explicação rápida do raciocínio por trás do passo anterior:
  • A diferença dividida f[3,5]=40 é a inclinação (coeficiente angular) da reta que passa por (3,19) e (5,99).
  • A reta no ponto x=3 tem valor 19; ao avançar uma unidade até x=4 incrementa-se 40, chegando a 59.

Passo 6

Interpolador de Newton de grau 2 com pontos (2,6),\\ (3,19),\\ (5,99) — passo a passo com diferenças divididas.
  • Nível 0 (valores):
f[2]=6,\qquad f[3]=19,\qquad f[5]=99.
  • Nível 1 (diferenças divididas entre pares adjacentes):
f[2,3]=\frac{f(3)-f(2)}{3-2}=\frac{19-6}{1}=13,
f[3,5]=\frac{f(5)-f(3)}{5-3}=\frac{99-19}{2}=40.
(Observe que já tínhamos calculado f[3,5]=40 no passo anterior; aqui reafirmamos.)
  • Nível 2 (diferença dividida de segunda ordem usando os extremos x=2 e x=5):
f[2,3,5]=\frac{f[3,5]-f[2,3]}{5-2}=\frac{40-13}{3}=\frac{27}{3}=9.
  • A forma de Newton de grau 2 com x_0=2,\\ x_1=3 é
P_2(x)=f(2)+f[2,3](x-2)+f[2,3,5](x-2)(x-3).
Substituindo os coeficientes:
P_2(x)=6+13(x-2)+9(x-2)(x-3).

Passo 7

Avaliação do polinômio quadrático em x=4 (contas detalhadas, passo a passo):
  • Calcule x-2 e x-3 em x=4:
4-2=2,\qquad 4-3=1.
  • Então
P_2(4)=6+13\cdot 2 +9\cdot 2\cdot 1.
  • Calculando cada termo:
13\cdot 2=26,\qquad 9\cdot 2\cdot 1=18.
  • Somando:
P_2(4)=6+26+18=50.
Portanto, o interpolador quadrático (grau 2) fornece f(4)\approx 50.

Passo 8

Comentário interpretativo e dica prática (curto, motivacional):
  • Temos duas estimativas: pela reta entre 3 e 5 obteve-se 59, e pelo polinômio quadrático sobre 2,3,5 obteve-se 50.
  • Em geral, para estimar f num ponto interno como x=4, usar um polinômio de grau maior com pontos próximos tende a melhorar a aproximação — mas cuidado: grau muito alto pode causar oscilações se os pontos forem distantes ou ruidosos. Aqui o grau 2 com pontos próximos trouxe uma estimativa diferente da linear; qual é “melhor” depende do comportamento real da função, mas a escolha dos pontos feita (próximos a 4) é sensata.
Vai dar tudo certo na prova — respira, pratica mais alguns exercícios rápidos assim e fica mais confiante!

Resposta

Polinômio de grau 1 (usando x=3,5): f(4)=59
Polinômio de grau 2 (usando x=2,3,5): f(4)=50

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