Julgue os itens a seguir em verdadeiro (V) ou falso (F), justificando sua resposta.
y_{1}(x)=e^{2 x} e y_{2}(x)=e^{-2 x} formam um conjunto fundamental de soluçōes para a EDO y^{\prime \prime}-4 y=0 em I=\mathbb{R}. Mais ainda, y_{1} e y_{2} sâo linearmente independentes em I=\mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar duas afirmações sobre a EDO
y'' - 4y = 0
no intervalo I = \mathbb{R}:
(1) se y_1(x)=e^{2x} e y_2(x)=e^{-2x} formam um conjunto fundamental de soluções;
(2) se y_1 e y_2 são linearmente independentes.
O conteúdo envolve equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes, e o conceito de conjunto fundamental e de independência linear de soluções.

Passo 2

Para resolver \;y'' -4y=0, montamos a equação característica
r^2 - 4 = 0
cuja solução é
r = 2 \quad\text{ou}\quad r = -2.
Logo, as funções
y_1(x)=e^{2x} \quad\text{e}\quad y_2(x)=e^{-2x}
são duas soluções lineares independentes, e a solução geral é
y(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x}.
Por definição, um conjunto fundamental de soluções de uma EDO de segunda ordem é um par de soluções linearmente independentes que gera toda solução geral. Assim, y_1 e y_2 formam um conjunto fundamental.

Passo 3

Para confirmar a independência linear, calculamos o Wronskiano
W(y_1,y_2)(x) =\begin{vmatrix} e^{2x} & e^{-2x}\\\\ 2e^{2x} & -2e^{-2x} \end{vmatrix} =-2e^{-2x}\,e^{2x}-2e^{2x}\,e^{-2x} =-4\neq0
para todo x\in\mathbb{R}. Como W não se anula, y_1 e y_2 são linearmente independentes em \mathbb{R}.

Resposta

  1. V
  2. V

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