Julgue os itens a seguir em verdadeiro (V) ou falso (F), justificando sua resposta. y_{1}(x)=e^{2 x} e y_{2}(x)=e^{-2 x} formam um conjunto fundamental de soluçōes para a EDO y^{\prime \prime}-4 y=0 em I=\mathbb{R}. Mais ainda, y_{1} e y_{2} sâo linearmente independentes em I=\mathbb{R}.
Passo 1
O enunciado pede para verificar duas afirmações sobre a EDO
y'' - 4y = 0
no intervalo I = \mathbb{R}:
(1) se y_1(x)=e^{2x} e y_2(x)=e^{-2x} formam um conjunto fundamental de soluções;
(2) se y_1 e y_2 são linearmente independentes.
O conteúdo envolve equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes, e o conceito de conjunto fundamental e de independência linear de soluções.
Passo 2
Para resolver \;y'' -4y=0, montamos a equação característica
r^2 - 4 = 0
cuja solução é
r = 2 \quad\text{ou}\quad r = -2.
Logo, as funções
y_1(x)=e^{2x} \quad\text{e}\quad y_2(x)=e^{-2x}
são duas soluções lineares independentes, e a solução geral é
y(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x}.
Por definição, um conjunto fundamental de soluções de uma EDO de segunda ordem é um par de soluções linearmente independentes que gera toda solução geral. Assim, y_1 e y_2 formam um conjunto fundamental.
Passo 3
Para confirmar a independência linear, calculamos o Wronskiano