2.6 Considere f: R R definida por f(x)=|x^2-4 x+3|. Calcule quando existir ou justifique a não existência das derivadas f^prime(2), f^prime(3) e f^prime(5).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=l|x^2-4x+3r|
e pede as derivadas em x=2, x=3 e x=5. Vamos usar o fato de que lvert urvert é diferenciável onde uneq0 e, quando u=0, é preciso checar as derivadas laterais. Aqui u(x)=x^2-4x+3.

Passo 2

Primeiro encontramos as raízes de u(x)=x^2-4x+3:
x^2-4x+3=(x-1)(x-3),
logo u(x)>0 para x<1 ou x>3, e u(x)<0 para 1<x<3. Assim
para x<1 ou x>3 temos
f(x)=x^2-4x+3,
e para 1<x<3
f(x)=-(x^2-4x+3)=-x^2+4x-3

Passo 3

Em cada região, f é polinomial, então diferenciável com
f'(x)= 2x-4,& x<1 ou x>3, -2x+4,&1<x<3

Passo 4

Para x=2 temos 1<2<3, logo usamos a fórmula -2x+4:
f'(2)=-2cdot2+4=0
Para x=5 temos 5>3, usamos 2x-4:
f'(5)=2cdot5-4=6

Passo 5

Em x=3 a definição muda de ramo, então calculamos as derivadas laterais:
derivada pela esquerda (usando -2x+4) em x=3:
f'-(3)=-2cdot3+4=-2,
derivada pela direita (usando 2x-4) em x=3:
f'+(3)=2cdot3-4=2
Como f'-(3)neq f'+(3), não existe f'(3).

Resposta

f'(2)=0, não existe f'(3), f'(5)=6.

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