2.6 Considere definida por . Calcule quando existir ou justifique a não existência das derivadas f^prime(2), f^prime(3) e f^prime(5).
Passo 1
O enunciado dá a função
f(x)=l|x^2-4x+3r|
e pede as derivadas em x=2, x=3 e x=5. Vamos usar o fato de que lvert urvert é diferenciável onde uneq0 e, quando u=0, é preciso checar as derivadas laterais. Aqui u(x)=x^2-4x+3.
Passo 2
Primeiro encontramos as raízes de u(x)=x^2-4x+3:
x^2-4x+3=(x-1)(x-3),
logo u(x)>0 para x<1 ou x>3, e u(x)<0 para 1<x<3. Assim
para x<1 ou x>3 temos
f(x)=x^2-4x+3,
e para 1<x<3
f(x)=-(x^2-4x+3)=-x^2+4x-3
Passo 3
Em cada região, f é polinomial, então diferenciável com
f'(x)= 2x-4,& x<1 ou x>3, -2x+4,&1<x<3
Passo 4
Para x=2 temos 1<2<3, logo usamos a fórmula -2x+4:
f'(2)=-2cdot2+4=0
Para x=5 temos 5>3, usamos 2x-4:
f'(5)=2cdot5-4=6
Passo 5
Em x=3 a definição muda de ramo, então calculamos as derivadas laterais:
derivada pela esquerda (usando -2x+4) em x=3: