2.8 Encontre a equação das retas que passam pelo ponto (2,1) e são tangentes ao gráfico da função f: R R definida por f(x)=1-x^2. Represente tudo geometricamente.

Passo 1

O enunciado pede as equações das retas que passam por (2,1) e são tangentes ao gráfico da função
f(x)=1 - x^2
O conteúdo necessário envolve derivada para obter a inclinação da tangente e a condição de que essa reta passe por (2,1).

Passo 2

Calculamos a derivada de f, que dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto x=a:
f'(x) = -2x,
logo a inclinação no ponto a é m = f'(a) = -2a. A equação da reta tangente em x=a é
y - f(a) = f'(a),(x - a),
ou seja,
y - l(1 - a^2r) = -2a,(x - a)

Passo 3

Para que essa reta passe por (2,1), fazemos (x,y)=(2,1) na equação da reta:
1 - l(1 - a^2r) = -2a,(2 - a)
O lado esquerdo é a^2, então
a^2 = -2a,(2 - a) = -4a + 2a^2
Rearranjando,
0 = 2a^2 -4a - a^2 = a^2 -4a = a(a -4)

Passo 4

Da equação a(a-4)=0 vêm os valores
a=0 ou a=4
Para cada um:
se a=0: f(0)=1, m=-2cdot0=0,
logo a reta é horizontal passando por (2,1):
y = 1
se a=4: f(4)=1-16=-15, m=-2cdot4=-8,
logo a reta satisfaz
y - 1 = -8(x - 2) Longrightarrow y = -8x +17

Passo 5

Geometricamente, as tangentes partem de (2,1) e tocam a parábola nos pontos (0,1) e (4,-15). A primeira é horizontal, a segunda desce com inclinação -8.

Resposta

As equações das retas são
y = 1 e y = -8x + 17

Exercícios relacionados