Considere F: Z N definida como F(x)=5 x^2. Então F(x) é:
Escolha uma opção:
a. F é uma função sobrejetora mas não injetora
b. F é uma função injetora mas não sobrejetora
c. F é uma função bijetora
d. F não é função
e. F é uma função mas não é injetora nem sobrejetora

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função F: Z N definida por F(x) = 5x^2 . O objetivo aqui é descobrir se essa função é injetora, sobrejetora, bijetora ou se nem isso tudo. Para resolver, vamos precisar entender os conceitos de injetora e sobrejetora e ver como eles se aplicam nessa função específica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função injetora. Uma função é injetora se cada elemento do conjunto de partida ( Z ) mapeia para um elemento único no conjunto de chegada ( N ). Ou seja, não pode ter dois valores diferentes de x que resultem no mesmo F(x) .

Passo 3

Agora, vamos analisar se F(x) = 5x^2 é injetora. Se pegarmos x = 2 e x = -2 , por exemplo:
F(2) = 5 times 2^2 = 20
F(-2) = 5 times (-2)^2 = 20
Aqui, vemos que F(2) = F(-2) , mesmo 2 neq -2 . Isso mostra que diferentes valores de x podem dar o mesmo resultado, então a função não é injetora.

Passo 4

Agora, vamos ver se a função é sobrejetora. Uma função é sobrejetora se todo elemento do conjunto de chegada ( N ) é atingido por pelo menos um elemento do conjunto de partida ( Z ).

Passo 5

Observando F(x) = 5x^2 , notamos que os valores de F(x) são múltiplos de 5 e quadrados perfeitos multiplicados por 5. Por exemplo, F(0) = 0 , F(1) = 5 , F(2) = 20 , etc. Porém, nem todos os números naturais são múltiplos de 5 ou podem ser expressos como 5x^2 . Por exemplo, o número 3 em N não pode ser obtido por F(x) para nenhum x inteiro. Portanto, a função não é sobrejetora.

Resposta

A opção correta é:
e. F é uma função mas não é injetora nem sobrejetora

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