Utilize a fórmula
A=12 ointC x d y-y d x
para determinar a área delimitada pelas curvas abaixo:
x=t-sen t, y=1-cos t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área delimitada pelas curvas definidas por x = t - sin t e y = 1 - cos t usando a fórmula:
A = 12 ointC x , dy - y , dx
Isso faz parte do cálculo vetorial, onde usamos integrais para encontrar áreas fechadas por curvas. Vamos precisar substituir as funções de x e y na fórmula e calcular a integral no intervalo certo de t.

Passo 2

Primeiro, vamos achar as derivadas dx e dy em relação a t. Temos:
x = t - sin t implies dx = (1 - cos t) , dt
y = 1 - cos t implies dy = sin t , dt

Passo 3

Agora, vamos substituir x, y, dx e dy na fórmula da área:
A = 12 integralt0^t1 [ (t - sin t)(sin t , dt) - (1 - cos t)(1 - cos t , dt) ]

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
A = 12 integralt0^t1 [ t sin t - sin^2 t - (1 - 2cos t + cos^2 t) ] dt

Passo 5

Precisamos determinar os limites de integração. Geralmente, para curvas paramétricas como essa, consideramos t variando de 0 a 2pi para completar uma volta completa. Então, vamos usar t0 = 0 e t1 = 2pi.

Passo 6

Vamos integrar cada termo separadamente:
  1. integral0^2pi t sin t , dt = -t cos t |0^2pi + integral0^2pi cos t , dt = -2pi cos(2pi) + 0 = -2pi
  2. integral0^2pi sin^2 t , dt = pi (usando a identidade sin^2 t = 1 - cos 2t2)
  3. integral0^2pi (1 - 2cos t + cos^2 t) , dt = 2pi - 0 + pi = 3pi (novamente, usando identidades trigonométricas)

Passo 7

Substituindo os valores das integrais na expressão da área:
A = 12 [ -2pi - pi - 3pi ] = 12 (-6pi) = -3pi
Como a área não pode ser negativa, consideramos o valor absoluto:
A = 3pi

Resposta

A área delimitada pelas curvas é 3pi unidades quadradas.

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