para determinar a área delimitada pelas curvas abaixo: .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área delimitada pelas curvas definidas por e usando a fórmula:
Isso faz parte do cálculo vetorial, onde usamos integrais para encontrar áreas fechadas por curvas. Vamos precisar substituir as funções de e na fórmula e calcular a integral no intervalo certo de .
Passo 2
Primeiro, vamos achar as derivadas e em relação a . Temos:
Passo 3
Agora, vamos substituir , , e na fórmula da área:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Passo 5
Precisamos determinar os limites de integração. Geralmente, para curvas paramétricas como essa, consideramos variando de a para completar uma volta completa. Então, vamos usar e .
Passo 6
Vamos integrar cada termo separadamente:
integral0^2pi sin^2 t , dt = pi (usando a identidade sin^2 t = 1 - cos 2t2)