Nos itens abaixo, verifique o Teorema de Stokes para a superfície dada e campo vetorial:
S é definida por x=raiz16-y^2-z^2 ; F=x i+y j+z k.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que verificar o Teorema de Stokes para uma superfície específica e um campo vetorial dado. O enunciado nos dá a superfície S definida por x = raiz16 - y^2 - z^2 e o campo vetorial F = x,i + y,j + z,k . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o Teorema de Stokes, calcular o rotacional de F , parametrizar a superfície S , e calcular tanto a integral de superfície quanto a integral de linha ao redor da borda de S .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Stokes. Ele relaciona a integral de uma circulação de um campo vetorial F ao longo de uma curva fechada C (que é a borda da superfície S ) com a integral do rotacional de F sobre a superfície S . A fórmula é:
ointC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot dS
Vamos precisar calcular ambos os lados dessa igualdade.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de F . O rotacional é dado por:
nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z )i + ( partial Fxpartial z - partial Fzpartial x )j + ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y )k
Para nosso campo F = x,i + y,j + z,k :
partial Fzpartial y &= 0 partial Fypartial z &= 0 partial Fxpartial z &= 0 partial Fzpartial x &= 0 partial Fypartial x &= 0 partial Fxpartial y &= 0
Portanto,
nabla times F = 0

Passo 4

Agora, vamos parametrizar a superfície S . A equação x = raiz16 - y^2 - z^2 descreve a parte da esfera de raio 4 centrada na origem, restrita ao x >= 0 .
Podemos usar coordenadas esféricas para parametrizar S . Mas, como estamos lidando com uma esfera centrada na origem, podemos simplificar a parametrização.
Vamos definir y = r cos theta e z = r sin theta , onde r varia de 0 a 4 e theta varia de 0 a 2pi . Então,
x = raiz16 - r^2
Então, nosso vetor posição r é:
r(r, theta) = raiz16 - r^2,i + r cos theta,j + r sin theta,k

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral de superfície integral duplaS (nabla times F) cdot dS . Mas vimos que nabla times F = 0 , então:
integral duplaS (nabla times F) cdot dS = 0

Passo 6

Em seguida, vamos calcular a integral de linha ointC F cdot dr , onde C é a borda de S . A borda de S é o círculo x = 0 , y^2 + z^2 = 16 .
Parametrizamos C como y = 4 cos theta , z = 4 sin theta , com theta de 0 a 2pi .
O campo F nessa curva é F = 0,i + 4 cos theta,j + 4 sin theta,k .
O diferencial de posição dr é:
dr = drdtheta dtheta = (-4 sin theta,j + 4 cos theta,k) dtheta
Então, o produto escalar F cdot dr é:
(0)(-) + (4 cos theta)(-4 sin theta) + (4 sin theta)(4 cos theta) = 0
Portanto,
ointC F cdot dr = 0

Resposta

Assim, tanto a integral de superfície quanto a integral de linha resultam em zero. Portanto, o Teorema de Stokes está verificado para a superfície S e o campo vetorial F dado.

Exercícios relacionados