Nos itens abaixo, verifique o Teorema de Stokes para a superfície dada e campo vetorial:
é definida por
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que verificar o Teorema de Stokes para uma superfície específica e um campo vetorial dado. O enunciado nos dá a superfície
definida por
e o campo vetorial
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o Teorema de Stokes, calcular o rotacional de
, parametrizar a superfície
, e calcular tanto a integral de superfície quanto a integral de linha ao redor da borda de
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Stokes. Ele relaciona a integral de uma circulação de um campo vetorial
ao longo de uma curva fechada
(que é a borda da superfície
) com a integral do rotacional de
sobre a superfície
. A fórmula é:
Vamos precisar calcular ambos os lados dessa igualdade.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de
. O rotacional é dado por:
Para nosso campo
:
Portanto,
Passo 4
Agora, vamos parametrizar a superfície
. A equação
descreve a parte da esfera de raio 4 centrada na origem, restrita ao
.
Podemos usar coordenadas esféricas para parametrizar
. Mas, como estamos lidando com uma esfera centrada na origem, podemos simplificar a parametrização.
Vamos definir
e
, onde
varia de 0 a 4 e
varia de 0 a
. Então,
Então, nosso vetor posição
é:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral de superfície
. Mas vimos que
, então:
Passo 6
Em seguida, vamos calcular a integral de linha
, onde
é a borda de
. A borda de
é o círculo
,
.
Parametrizamos
como
,
, com
de 0 a
.
O campo
nessa curva é
.
O diferencial de posição
é:
Então, o produto escalar
é:
Portanto,
Resposta
Assim, tanto a integral de superfície quanto a integral de linha resultam em zero. Portanto, o Teorema de Stokes está verificado para a superfície
e o campo vetorial
dado.