Considere f: R R definida por f(x)=2^x-raiz5 x^2+4. Mostre que f tem uma raiz real e encontre um intervalo de comprimento 1 / 2 contendo esta raiz.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=2^x-raiz5x^2+4, xinR,
e pede para mostrar que existe cinR tal que f(c)=0 e encontrar um intervalo de comprimento 1/2 que contenha essa raiz.
O conteúdo da matéria é continuidade de funções reais e o Teorema do Valor Intermediário.

Passo 2

Primeiro notamos que xmapsto 2^x e xmapsto raiz5x^2+4 são contínuas em R, logo f é contínua em R.
Além disso,
limxto -infty2^x = 0, limxto -inftyraiz5x^2+4=+infty Longrightarrow limxto -inftyf(x)=-infty,
e
limxto +infty2^x=+infty, limxto +inftyraiz5x^2+4=+infty,
porém 2^x cresce exponencialmente mais rápido que raiz5x^2+4, de modo que
limxto +inftyf(x)=+infty
Pelo Teorema do Valor Intermediário, como f é contínua e varia de -infty a +infty, existe pelo menos um cinR com f(c)=0.

Passo 3

Para localizar um intervalo de comprimento 1/2 com mudança de sinal, calculamos f em x=tfrac52 e x=3:
fl(tfrac52r) =2^5/2-raiz5l(tfrac52r)^2+4 approx 5,657 - raiz31,25+4 approx 5,657 - 5,94 <0,
f(3) =2^3-raiz5cdot 3^2+4 =8 - raiz45+4 =8 -7 =1>0
Como fl(tfrac52r)<0 e f(3)>0, pela continuidade de f há uma raiz em
l[tfrac52,,3r],
cujo comprimento é
3 - tfrac52 = tfrac12

Resposta

Um intervalo de comprimento 1/2 que contém a raiz de f é
l[tfrac52,,3r]

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