Considere
definida por
. Mostre que
tem uma raiz real e encontre um intervalo de comprimento
contendo esta raiz.
Passo 1
O enunciado define a função
e pede para mostrar que existe
tal que
e encontrar um intervalo de comprimento
que contenha essa raiz.
O conteúdo da matéria é continuidade de funções reais e o Teorema do Valor Intermediário.
O conteúdo da matéria é continuidade de funções reais e o Teorema do Valor Intermediário.
Passo 2
Primeiro notamos que
e
são contínuas em
, logo
é contínua em
.
Além disso,
Além disso,
e
porém
cresce exponencialmente mais rápido que
, de modo que
Pelo Teorema do Valor Intermediário, como
é contínua e varia de
a
, existe pelo menos um
com
.
Passo 3
Para localizar um intervalo de comprimento
com mudança de sinal, calculamos
em
e
:
Como
e
, pela continuidade de
há uma raiz em
cujo comprimento é
Resposta
Um intervalo de comprimento
que contém a raiz de
é