Questão 3. Calcule
onde
é o sólido limitado pelo cilindro
, pelo cone
e contido no semiespaço
.
Passo 1
Então, o exercício pede para calcular
onde
é o sólido limitado pelo cilindro
, pelo cone
e em
.
Conteúdo: integrais triplas em coordenadas cilíndricas.
O que precisamos:
Conteúdo: integrais triplas em coordenadas cilíndricas.
O que precisamos:
- Saber que em coordenadas cilíndricas
, , . - O Jacobiano é
, ou seja . - Traduzir limites do cilindro e do cone para
.
Passo 2
Descrevendo o sólido
em cilíndricas:
- Cilindro
vira . - Cone
dá (consideramos só ), então . - Ângulo
vai de a pra dar a volta toda.
Passo 3
Agora a gente faz a troca de variável:
Logo o integrando
vira
Passo 4
Montamos o integral triplo em ordem
:
Passo 5
Primeiro integramos em
. Aqui
é constante em
, então
O integral fica
Passo 6
Agora separamos em produto de integrais (porque
e
estão em fatores distintos):
- Em
:
- Em
, usamostheta :cos^2theta=tfrac1+cos2theta2