Questão 3. Calcule
integral triplaE x^2 d x d y d z
onde E é o sólido limitado pelo cilindro x^2+y^2=1, pelo cone z^2=4 x^2+4 y^2 e contido no semiespaço z >= 0.

Passo 1

Então, o exercício pede para calcular
integral triplaE x^2,dx,dy,dz
onde E é o sólido limitado pelo cilindro x^2+y^2=1, pelo cone z^2=4(x^2+y^2) e em z>=0.
Conteúdo: integrais triplas em coordenadas cilíndricas.
O que precisamos:
  • Saber que em coordenadas cilíndricas x=rcostheta, y=rsintheta, z=z.
  • O Jacobiano é r, ou seja dx,dy,dz = r,dr,dtheta,dz.
  • Traduzir limites do cilindro e do cone para r,theta,z.

Passo 2

Descrevendo o sólido E em cilíndricas:
  • Cilindro x^2+y^2<=1 vira 0<= r<=1.
  • Cone z^2=4r^2 z=2r (consideramos só z>=0), então 0<= z<=2r.
  • Ângulo theta vai de 0 a 2pi pra dar a volta toda.

Passo 3

Agora a gente faz a troca de variável:
x^2 = (rcostheta)^2 = r^2cos^2theta, dx,dy,dz = r,dr,dtheta,dz
Logo o integrando x^2,dx,dy,dz vira
r^2cos^2theta ;times; r,dr,dtheta,dz ;=; r^3cos^2theta,dr,dtheta,dz

Passo 4

Montamos o integral triplo em ordem dz,dr,dtheta:
integraltheta=0^2pi integralr=0^1 integralz=0^2r r^3cos^2theta ;dz;dr;dtheta

Passo 5

Primeiro integramos em z. Aqui r^3cos^2theta é constante em z, então
integral0^2r r^3cos^2theta,dz = r^3cos^2theta;l[zr]0^2r = r^3cos^2theta;(2r) =2r^4cos^2theta
O integral fica
integral0^2pi! integral0^1 2r^4cos^2theta ;dr;dtheta

Passo 6

Agora separamos em produto de integrais (porque r e theta estão em fatores distintos):
l(integral0^12r^4drr); l(integral0^2picos^2theta,dthetar)
  1. Em r:
integral0^12r^4dr =2;r^55|0^1 =25
  1. Em theta, usamos cos^2theta=tfrac1+cos2theta2:
integral0^2picos^2theta,dtheta =integral0^2pi1+cos2theta2,dtheta =12l[theta+tfracsin2theta2r]0^2pi =12,(2pi) =pi

Resposta

integral triplaEx^2,dx,dy,dz ;=;25,pi ;=;2pi5

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