Resolva por transformadas de Laplace.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a ODE
com a condição inicial
, usando transformada de Laplace.
Vamos precisar das propriedades
Vamos precisar das propriedades
e
Aqui
.
Passo 2
Aplicamos a transformada em cada termo da ODE:
Passo 3
Somando os resultados e igualando a zero:
Agrupando termos em
e em
:
Multiplicando por
:
Fatorando
:
Passo 4
Resolvendo a EDO em
:
onde
é constante de integração.
Passo 5
Invertemos a transformada:
Como
, a condição
x(0)=0 está satisfeita para qualquer
K .
Resposta
A família de soluções é