Resolva por transformadas de Laplace.
t x^prime prime+(3 t-1) x^prime+3 x=0 x(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a ODE
t,x''(t)+(3t-1),x'(t)+3,x(t)=0,
com a condição inicial x(0)=0, usando transformada de Laplace.
Vamos precisar das propriedades
Lx'(t)=sX(s)-x(0), Lx''(t)=s^2X(s)-s,x(0)-x'(0),
e
Lt f(t)=-ddsF(s)
Aqui X(s)=Lx(t).

Passo 2

Aplicamos a transformada em cada termo da ODE:
  1. Lt,x''(t) =-ddsl[s^2X(s)-s,x(0)-x'(0)r] =-ddsl[s^2X(s)-x'(0)r] =-2s,X(s)-s^2X'(s)
  2. L3t,x'(t) =3l(-tfracdds[sX(s)-x(0)]r) =-3l[X(s)+sX'(s)r] =-3X(s)-3sX'(s)
  3. L-x'(t) =-(sX(s)-x(0))=-sX(s)
  4. L3x(t)=3X(s)

Passo 3

Somando os resultados e igualando a zero:
l(-2sX -s^2X'r)+l(-3X-3sX'r)+l(-sXr)+3X=0
Agrupando termos em X'(s) e em X(s):
-(s^2+3s)X'(s);+;[-2sX-3X -sX+3X]=0 ;Longrightarrow; -(s^2+3s)X'-3sX=0
Multiplicando por -1:
(s^2+3s)X'(s)+3sX(s)=0
Fatorando s:
s(s+3)X'(s)+3sX(s)=0 ;Longrightarrow; (s+3)X'(s)+3X(s)=0

Passo 4

Resolvendo a EDO em X(s):
X'(s)X(s)=-3s+3 ;Longrightarrow; ln X(s)=-3ln(s+3)+C ;Longrightarrow; X(s)=K(s+3)^3,
onde K=e^C é constante de integração.

Passo 5

Invertemos a transformada:
x(t)=L^-1lK(s+3)^3r =K;L^-1(s+3)^-3 =K;t^22e^-3t
Como t^22e^-3t|t=0=0, a condição x(0)=0 está satisfeita para qualquer K.

Resposta

A família de soluções é
boxedx(t)=K,t^22,e^-3t, KinR

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