Questão 1. Calcule
integral0^1 integral3 y^3 e^x^2 d x d y

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente quer calcular
I = integral0^1!integral3y^3 e^x^2 ,dx,dy
Conteúdo da matéria: integrais duplas, troca de ordem de integração (Teorema de Fubini) e integração por substituição.
O que vamos precisar:
  1. Descrever a região de integração e inverter a ordem para não precisar de uma primitiva de e^x^2;
  2. Fazer a integral em y (simples, é constante em y);
  3. Fazer a integral em x usando substituição u=x^2.

Passo 2

Identificando a região R:
0 <= y <= 1, 3y <= x <= 3
Da desigualdade 3y<= x tiramos y <= tfracx3. Como y<=1 e x<=3, vemos que x varia de 0 a 3 e, para cada x, y vai de 0 a x/3.
Pela troca de ordem de integração (Fubini):
I = integral0^3!integral0^x/3 e^x^2 ,dy,dx

Passo 3

Integral interna em y:
integral0^x/3 e^x^2,dy = e^x^2,l[yr]0^x/3 = e^x^2,x3
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I = integral0^3 x3,e^x^2,dx = 13integral0^3 x,e^x^2,dx

Passo 4

Integral em x por substituição:
Defina u = x^2implies du = 2x,dximplies x,dx = tfracdu2.
integral x,e^x^2,dx = integral e^u,du2 = 12e^u+C = 12e^x^2+C

Passo 5

Aplicando os limites em xin[0,3]:
I = 13,l[tfrac12e^x^2r]0^3 = 16l(e^9-e^0r) = 16l(e^9-1r)

Resposta

boxede^9-16

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