Encontre a solução, na forma implícita, da seguinte EDO usando a substituição v=x+y+1 :
y^prime=-x-y+(x+y+1)^2(x+y+1)

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO de primeira ordem
dydx = -x - y + (x+y+1)^2x+y+1
e sugere a substituição v = x + y + 1. Vamos usar essa mudança de variável para reduzir a equação a uma forma separável.

Passo 2

Como v = x + y + 1, temos
y = v - x - 1
Derivando em relação a x,
dydx = dvdx - 1

Passo 3

Substituindo na EDO original,
dvdx - 1 = -x - (v - x - 1) + v^2v = -x - v + x + 1 + v^2v = v^2 - v + 1v = v - 1 + 1v
Logo
dvdx = v + 1v

Passo 4

A equação em v é separável. Escrevemos
dvdx = v^2 + 1v Longrightarrow vv^2 + 1,dv = dx

Passo 5

Integramos os dois lados:
integral vv^2 + 1,dv = integral dx Longrightarrow 12 lnl(v^2 + 1r) = x + C

Passo 6

Voltando à variável original v = x + y + 1 e reunindo constantes, obtemos a solução implícita
lnl((x+y+1)^2 + 1r) - 2x = C

Resposta

lnl((x+y+1)^2 + 1r) - 2x = C

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