Determine o polinômio característico, os autovalores e os autovetores das seguintes matrizes:
\left(\begin{array}{rrr}2 & 0 & 0 \\\\ 0 & 2 & 5 \\\\ 0 & -1 & -2\end{array}\right).

Passo 1

Enunciado e dados importantes.\n
A matriz fornecida é
A=\begin{pmatrix}2 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 2 & 5 \\[4pt] 0 & -1 & -2\end{pmatrix}.
O que o exercício pede:
\text{(i) determinar o polinômio característico de }A,ôí
\text{(ii) encontrar os autovalores (raízes do polinômio característico),}íôí
\text{(iii) para cada autovalor, achar os autovetores não nulos (espaço próprio).}ãçó
Nenhuma outra informação foi dada.]

Passo 2

Como obter o polinômio característico: ele é definido por \det(A-\lambda I), onde \lambda é a variável. Escrevemos
A-\lambda I=\begin{pmatrix}2-\lambda & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 2-\lambda & 5 \\[4pt] 0 & -1 & -2-\lambda\end{pmatrix}.
Observação útil (explicação didática): quando uma matriz tem forma em blocos diagonais (aqui o primeiro elemento forma um bloco 1\times1 e o restante um bloco 2\times2), o determinante é o produto dos determinantes dos blocos diagonais. Aqui isso significa que
\det(A-\lambda I)=(2-\lambda)\cdot\det\begin{pmatrix}2-\lambda & 5 \\[4pt] -1 & -2-\lambda\end{pmatrix}.
Isso evita fazer o desenvolvimento de Laplace completo — é uma economia prática muito usada em provas.]

Passo 3

Calcular o determinante 2\times2 e simplificar. Para a matriz 2\times2 temos
\det\begin{pmatrix}2-\lambda & 5 \\[4pt] -1 & -2-\lambda\end{pmatrix}=(2-\lambda)(-2-\lambda)-5(-1).
Faço a multiplicação passo a passo:
(2-\lambda)(-2-\lambda)= -4 +\lambda^2
porque expandindo (2-\lambda)(-2-\lambda) -4-2\lambda+2\lambda+\lambda^2=-4+\lambda^2. Somando +5 do termo -5(-1) obtemos
-4+\lambda^2+5=\lambda^2+1.
Portanto o polinômio característico é
\det(A-\lambda I)=(2-\lambda)(\lambda^2+1).]

Passo 4

Encontrar os autovalores: resolvemos \det(A-\lambda I)=0. Assim
(2-\lambda)(\lambda^2+1)=0.
As soluções são as raízes dos fatores:
\lambda=2
e
\lambda^2+1=0\implies \lambda=\pm i.
Comentário didático: \lambda=2 é real; \lambda=i e \lambda=-i são complexos. Em espaços reais aparecem autovalores complexos pareados conjugados, e em álgebra linear complexa trabalham-se normalmente esses autovalores e seus autovetores complexos.

Passo 5

Autovetores para \lambda=2. Resolvemos (A-2I)x=0. Primeiro escrevemos a matriz:
A-2I=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 5 \\[4pt] 0 & -1 & -4\end{pmatrix}.
Sejam x=(x_1,x_2,x_3)^{T}. O sistema linear (A-2I)x=0 dá as equações:
0\cdot x_1+0\cdot x_2+0\cdot x_3=0 \quad(\text{sem restrição}),çã
0\cdot x_1+0\cdot x_2+5x_3=0 \implies 5x_3=0 \implies x_3=0,
0\cdot x_1-1\cdot x_2-4x_3=0 \implies -x_2-4\cdot 0=0 \implies x_2=0.
Portanto x_1 é livre (não aparece nas equações). Escolhendo x_1=1 obtemos um autovetor não nulo:
v_{2}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
O espaço próprio correspondente a \lambda=2 é \{\alpha(1,0,0)^{T}\mid \alpha\in\mathbb{C}\} (ou \alpha\in\mathbb{R} se quisermos só autovetores reais).]

Passo 6

Autovetores para \lambda=i. Resolvemos (A-iI)x=0. A matriz é
A-iI=\begin{pmatrix}2-i & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 2-i & 5 \\[4pt] 0 & -1 & -2-i\end{pmatrix}.
Denotando x=(x_1,x_2,x_3)^{T}, a primeira equação é
(2-i)x_1=0.
Como 2-i\neq 0, segue x_1=0. Restam as duas equações para x_2,x_3:
(2-i)x_2+5x_3=0,
-1\cdot x_2+(-2-i)x_3=0.
Basta resolver uma delas para expressar x_2 em função de x_3. Da primeira,
x_2=-\frac{5}{2-i}\,x_3.
Explico a divisão por número complexo (racionalização): multiplica-se numerador e denominador pelo conjugado 2+i:
-\frac{5}{2-i}=-5\cdot\frac{2+i}{(2-i)(2+i)}=-5\cdot\frac{2+i}{4+1}=-5\cdot\frac{2+i}{5}=-(2+i).
Logo
x_2=-(2+i)\,x_3=-2\,x_3 - i\,x_3.
Escolhemos x_3=1 (livre) para obter um autovetor simples:
v_{i}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]-2-i\\[4pt]1\end{pmatrix}.
(Verificação: se substituirmos em (A-iI)v_i deve dar o vetor zero; isso confirma o cálculo.)]

Passo 7

Autovetores para \lambda=-i. Processo análogo: escrevemos
A+ iI=\begin{pmatrix}2+i & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 2+i & 5 \\[4pt] 0 & -1 & -2+i\end{pmatrix}.
A primeira equação dá (2+i)x_1=0\Rightarrow x_1=0. Da segunda,
(2+i)x_2+5x_3=0\implies x_2=-\frac{5}{2+i}\,x_3.
Racionalizando:
-\frac{5}{2+i}=-5\cdot\frac{2-i}{(2+i)(2-i)}=-5\cdot\frac{2-i}{5}=-(2-i)= -2 + i.
Logo, escolhendo x_3=1, um autovetor é
v_{-i}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]-2+i\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Observação didática final: os autovalores \pm i são conjugados e os autovetores encontrados também são conjugados um do outro, o que é natural quando a matriz tem coeficientes reais.]

Resposta

Polinômio característico: (2-\lambda)(\lambda^2+1).\n
Autovalores: \lambda=2,\\ \lambda=i,\\ \lambda=-i.\n
Autovetores correspondentes: para \lambda=2 temos \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix} (qualquer múltiplo); para \lambda=i temos \begin{pmatrix}0\\[4pt]-2-i\\[4pt]1\end{pmatrix} (qualquer múltiplo); para \lambda=-i temos \begin{pmatrix}0\\[4pt]-2+i\\[4pt]1\end{pmatrix} (qualquer múltiplo).]

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