Observação útil (explicação didática): quando uma matriz tem forma em blocos diagonais (aqui o primeiro elemento forma um bloco 1\times1 e o restante um bloco 2\times2), o determinante é o produto dos determinantes dos blocos diagonais. Aqui isso significa que
porque expandindo (2-\lambda)(-2-\lambda) dá -4-2\lambda+2\lambda+\lambda^2=-4+\lambda^2. Somando +5 do termo -5(-1) obtemos
-4+\lambda^2+5=\lambda^2+1.
Portanto o polinômio característico é
\det(A-\lambda I)=(2-\lambda)(\lambda^2+1).]
Passo 4
Encontrar os autovalores: resolvemos \det(A-\lambda I)=0. Assim
(2-\lambda)(\lambda^2+1)=0.
As soluções são as raízes dos fatores:
\lambda=2
e
\lambda^2+1=0\implies \lambda=\pm i.
Comentário didático: \lambda=2 é real; \lambda=i e \lambda=-i são complexos. Em espaços reais aparecem autovalores complexos pareados conjugados, e em álgebra linear complexa trabalham-se normalmente esses autovalores e seus autovetores complexos.
Passo 5
Autovetores para \lambda=2. Resolvemos (A-2I)x=0. Primeiro escrevemos a matriz:
O espaço próprio correspondente a \lambda=2 é \{\alpha(1,0,0)^{T}\mid \alpha\in\mathbb{C}\} (ou \alpha\in\mathbb{R} se quisermos só autovetores reais).]
Passo 6
Autovetores para \lambda=i. Resolvemos (A-iI)x=0. A matriz é
Observação didática final: os autovalores \pm i são conjugados e os autovetores encontrados também são conjugados um do outro, o que é natural quando a matriz tem coeficientes reais.]