Uma distribuição de massa esfericamente simétrica tem densidade volumétrica de massa dada por,
onde
é uma constante e
é a distância à origem. (a) Calcule a massa total da distribuição. (b) Calcule o vetor campo gravitacional num ponto qualquer do espaço.
Passo 1
O enunciado trata de uma distribuição de massa esfericamente simétrica com densidade volumétrica
O conteúdo envolve integrar essa densidade para obter (a) a massa total e (b) usar o Teorema de Newton (ou Lei de Gauss para gravitação) para achar o campo gravitacional
.
Passo 2
Para calcular a massa total
fazemos a integral da densidade sobre todo o volume. Em coordenadas esféricas o elemento de volume é
, logo
Usamos a fórmula
logo
Passo 3
Para o campo gravitacional num ponto a distância
da origem precisamos da massa interna até
,
Essa integral dá
Passo 4
Pela simetria esférica, o campo gravitacional é radial e seu módulo satisfaz
apontando para dentro. Assim
Resposta
(a)
(b)
(b)