Uma distribuição de massa esfericamente simétrica tem densidade volumétrica de massa dada por,
rho(r)=rho0 e^-ra, 0 <= r<infty,
onde rho0 é uma constante e r é a distância à origem. (a) Calcule a massa total da distribuição. (b) Calcule o vetor campo gravitacional num ponto qualquer do espaço.

Passo 1

O enunciado trata de uma distribuição de massa esfericamente simétrica com densidade volumétrica
rho(r)=rho0e^-r/a, 0<= r<infty
O conteúdo envolve integrar essa densidade para obter (a) a massa total e (b) usar o Teorema de Newton (ou Lei de Gauss para gravitação) para achar o campo gravitacional vec g(vec r).

Passo 2

Para calcular a massa total M fazemos a integral da densidade sobre todo o volume. Em coordenadas esféricas o elemento de volume é dV=4pi r^2dr, logo
M=integral0^inftyrho(r),dV =integral0^inftyrho0e^-r/a,4pi r^2dr =4pirho0integral0^inftyr^2e^-r/adr
Usamos a fórmula
integral0^inftyr^2e^-r/adr=2a^3,
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M=4pirho0,2a^3=8pirho0a^3

Passo 3

Para o campo gravitacional num ponto a distância r da origem precisamos da massa interna até r,
M(r)=integral0^rrho0e^-r'/a,4pi r'^2dr'
Essa integral dá
M(r) =4pirho0l[2a^3-e^-r/al(ar^2+2a^2r+2a^3r)r]

Passo 4

Pela simetria esférica, o campo gravitacional é radial e seu módulo satisfaz
g(r)=GM(r)r^2,
apontando para dentro. Assim
vec g(vec r)=-G,M(r)r^2;hat r =-4pi Grho0r^2l[2a^3-e^-r/a(ar^2+2a^2r+2a^3)r]hat r

Resposta

(a) M=8pirho0a^3
(b) vec g(vec r)=-4pi Grho0r^2l[2a^3-e^-r/al(ar^2+2a^2r+2a^3r)r]hat r

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