Prove por indução que as seguintes fórmulas são verdadeiras.
(c)
, para todo inteiro
.
(c)
Passo 1
O enunciado fornece a soma
e afirma que, para todo inteiro
,
O que se pede: provar que essa igualdade é verdadeira para todo inteiro
.
Passo 2
Verificação da base (caso
). Aqui é importante checar o menor valor permitido de
.
Calcular o membro da esquerda para
:
Calcular o membro da direita para
:
Como os dois lados coincidem, a fórmula é verdadeira para
. Esse é o passo de base da indução.
Passo 3
Explicação do princípio da indução (curtinha e didática). A prova por indução funciona assim:
- Mostra-se que a propriedade é verdadeira em um caso inicial (já fizemos para
). - Depois assume-se que a propriedade vale para um certo inteiro arbitrário
(hipótese de indução) e, usando isso, prova-se que ela vale para . - Se esses dois passos são realizados, então a propriedade vale para todo
.
Vou aplicar exatamente esse raciocínio agora.
Passo 4
Hipótese de indução. Seja um inteiro arbitrário
. Suponha que a fórmula seja verdadeira para
; isto é, suponha que
Esta é a hipótese de indução que vamos usar para provar o caso
.
Passo 5
Passo indutivo: provar que a fórmula vale para
.
Começamos expressando a soma até
em termos da soma até
:
Pelo que assumimos na hipótese de indução, a soma até
é
. Substituindo:
Agora vamos simplificar o lado direito passo a passo. Primeiro escrevemos
como uma fração com denominador
:
Somando as frações com mesmo denominador:
Agora desenvolvemos os termos do numerador (explicando cada passo):
Somando:
Tentamos agora fatorar esse polinômio para obter a forma esperada. Observamos que
Para ver rapidamente que isso é verdade, expandimos a fatoração proposta:
Portanto
Reescrevendo
como
(pois
), obtemos
Isto mostra exatamente que a fórmula vale para
. Assim o passo indutivo está completo.
Passo 6
Conclusão final da indução. Como mostramos a verificação para
(base) e provamos que, sempre que a fórmula vale para
ela também vale para
(passo indutivo), pelo princípio da indução matemática a igualdade
é verdadeira para todo inteiro
.
Para fixar: teste numérico rápido, por exemplo
. A soma é
. A fórmula dá
coincidindo com o cálculo direto — bom sinal de que tudo bateu.