Prove por indução que as seguintes fórmulas são verdadeiras.
(c) 2+5+\cdots+(2+3 n)=\frac{(n+1)(4+3 n)}{2}, para todo inteiro n \geq 0.

Passo 1

O enunciado fornece a soma
2+5+\cdots+(2+3n)
e afirma que, para todo inteiro n\ge 0,
2+5+\cdots+(2+3n)=\frac{(n+1)(4+3n)}{2}.
O que se pede: provar que essa igualdade é verdadeira para todo inteiro n\ge 0.

Passo 2

Verificação da base (caso n=0). Aqui é importante checar o menor valor permitido de n.
Calcular o membro da esquerda para n=0:
2+5+\cdots+(2+3\cdot 0)=2.
Calcular o membro da direita para n=0:
\frac{(0+1)(4+3\cdot 0)}{2}=\frac{1\cdot 4}{2}=2.
Como os dois lados coincidem, a fórmula é verdadeira para n=0. Esse é o passo de base da indução.

Passo 3

Explicação do princípio da indução (curtinha e didática). A prova por indução funciona assim:
  • Mostra-se que a propriedade é verdadeira em um caso inicial (já fizemos para n=0).
  • Depois assume-se que a propriedade vale para um certo inteiro arbitrário k (hipótese de indução) e, usando isso, prova-se que ela vale para k+1.
  • Se esses dois passos são realizados, então a propriedade vale para todo n\ge 0.
Vou aplicar exatamente esse raciocínio agora.

Passo 4

Hipótese de indução. Seja um inteiro arbitrário k\ge 0. Suponha que a fórmula seja verdadeira para n=k; isto é, suponha que
\sum_{i=0}^{k}(2+3i)=\frac{(k+1)(4+3k)}{2}.
Esta é a hipótese de indução que vamos usar para provar o caso k+1.

Passo 5

Passo indutivo: provar que a fórmula vale para n=k+1.
Começamos expressando a soma até k+1 em termos da soma até k:
\sum_{i=0}^{k+1}(2+3i) = \left(\sum_{i=0}^{k}(2+3i)\right) + (2+3(k+1)).
Pelo que assumimos na hipótese de indução, a soma até k é \dfrac{(k+1)(4+3k)}{2}. Substituindo:
\sum_{i=0}^{k+1}(2+3i) = \frac{(k+1)(4+3k)}{2} + (2+3(k+1)).
Agora vamos simplificar o lado direito passo a passo. Primeiro escrevemos 2+3(k+1) como uma fração com denominador 2:
2+3(k+1)=2+3k+3=5+3k=\frac{2(5+3k)}{2}.
Somando as frações com mesmo denominador:
\frac{(k+1)(4+3k)}{2} + \frac{2(5+3k)}{2} = \frac{(k+1)(4+3k) + 2(5+3k)}{2}.
Agora desenvolvemos os termos do numerador (explicando cada passo):
(k+1)(4+3k)=4(k+1)+3k(k+1)=4k+4+3k^2+3k=3k^2+7k+4,
2(5+3k)=10+6k.
Somando:
3k^2+7k+4 + 10+6k = 3k^2+(7k+6k)+(4+10)=3k^2+13k+14.
Tentamos agora fatorar esse polinômio para obter a forma esperada. Observamos que
3k^2+13k+14 = (k+2)(3k+7).
Para ver rapidamente que isso é verdade, expandimos a fatoração proposta:
(k+2)(3k+7)=3k^2+7k+6k+14=3k^2+13k+14.
Portanto
\sum_{i=0}^{k+1}(2+3i)=\frac{(k+2)(3k+7)}{2}.
Reescrevendo 3k+7 como 4+3(k+1) (pois 3k+7=3(k+1)+4), obtemos
\sum_{i=0}^{k+1}(2+3i)=\frac{(k+2)\bigl(4+3(k+1)\bigr)}{2}.
Isto mostra exatamente que a fórmula vale para n=k+1. Assim o passo indutivo está completo.

Passo 6

Conclusão final da indução. Como mostramos a verificação para n=0 (base) e provamos que, sempre que a fórmula vale para n=k ela também vale para n=k+1 (passo indutivo), pelo princípio da indução matemática a igualdade
2+5+\cdots+(2+3n)=\frac{(n+1)(4+3n)}{2}
é verdadeira para todo inteiro n\ge 0.
Para fixar: teste numérico rápido, por exemplo n=2. A soma é 2+5+8=15. A fórmula dá
\frac{(2+1)(4+3\cdot 2)}{2}=\frac{3\cdot 10}{2}=15,
coincidindo com o cálculo direto — bom sinal de que tudo bateu.

Resposta

2+5+\cdots+(2+3n)=\frac{(n+1)(4+3n)}{2}

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