Considere o desempenho de um teste T destinado a diagnosticar a presença de infecção pelo vírus HIV. Admita que: A probabilidade de que o resultado do teste seja positivo dado que a pessoa está infectada é 0,90, P(T^+ mid D^+); A probabilidade de que o resultado do teste seja negativo dado que a pessoa não está infectada é 0,95, P(T^- mid D^-). Em uma população formada somente por doadores de sangue, apenas uma em cada quinhentas pessoas está infectado pelo vírus. Suponha que foi sorteada ao acaso uma pessoa dessa população e que ela será submetida ao teste T. Calcule a probabilidade de que:
(a) O teste dar positivo, P(T^+). Calcule também a probabilidade do teste dar Negativo, P(T^-);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos fala sobre as probabilidades associadas a um teste para detectar o vírus HIV. A gente vai precisar usar conceitos de probabilidade total para calcular a chance do teste dar positivo ou negativo. Basicamente, vamos considerar tanto as pessoas infectadas quanto as não infectadas na nossa população de doadores de sangue.

Passo 2

Primeiro, vamos definir os eventos:
  • $ D^+ $: A pessoa está infectada.
  • $ D^- $: A pessoa não está infectada.
  • $ T^+ $: O teste dá positivo.
  • $ T^- $: O teste dá negativo.
Sabemos que:
  • $ P(D^+) = \frac{1}{500} = 0,002 $ (probabilidade de estar infectado).
  • $ P(D^-) = 1 - P(D^+) = 0,998 $ (probabilidade de não estar infectado).
  • $ P(T^+ \mid D^+) = 0,90 $ (probabilidade do teste dar positivo se a pessoa está infectada).
  • $ P(T^- \mid D^-) = 0,95 $ (probabilidade do teste dar negativo se a pessoa não está infectada).

Passo 3

Vamos calcular a probabilidade de o teste dar positivo, $ P(T^+) $, usando a regra da probabilidade total:
P(T^+)
Mas antes, precisamos encontrar $ P(T^+ \mid D^-) $, que é a probabilidade de um falso positivo. Como $ P(T^- \mid D^-) = 0,95 $, então:
P(T^+) = P(T^+ mid D^+) cdot P(D^+) + P(T^+ mid D^-) cdot P(D^-)

Passo 4

Agora, substituindo os valores na fórmula:
P(T^+) = 0,90 cdot 0,002 + 0,05 cdot 0,998 = 0,0018 + 0,0499 = 0,0517
Então, $ P(T^+) = 0,0517 $ ou 5,17%.

Passo 5

Para encontrar $ P(T^-) $, podemos usar que a soma das probabilidades é 1:
P(T^-)
Portanto, $ P(T^-) = 0,9483 $ ou 94,83%.

Resposta

A probabilidade do teste dar positivo é de 5,17% e a probabilidade do teste dar negativo é de 94,83%.

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