Considere o desempenho de um teste T destinado a diagnosticar a presença de infecção pelo vírus HIV. Admita que: A probabilidade de que o resultado do teste seja positivo dado que a pessoa está infectada é
; A probabilidade de que o resultado do teste seja negativo dado que a pessoa não está infectada é
. Em uma população formada somente por doadores de sangue, apenas uma em cada quinhentas pessoas está infectado pelo vírus. Suponha que foi sorteada ao acaso uma pessoa dessa população e que ela será submetida ao teste T. Calcule a probabilidade de que:
(a) O teste dar positivo,
. Calcule também a probabilidade do teste dar Negativo,
;
(a) O teste dar positivo,
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos fala sobre as probabilidades associadas a um teste para detectar o vírus HIV. A gente vai precisar usar conceitos de probabilidade total para calcular a chance do teste dar positivo ou negativo. Basicamente, vamos considerar tanto as pessoas infectadas quanto as não infectadas na nossa população de doadores de sangue.
Passo 2
Primeiro, vamos definir os eventos:
- $ D^+ $: A pessoa está infectada.
- $ D^- $: A pessoa não está infectada.
- $ T^+ $: O teste dá positivo.
- $ T^- $: O teste dá negativo.
Sabemos que:
- $ P(D^+) = \frac{1}{500} = 0,002 $ (probabilidade de estar infectado).
- $ P(D^-) = 1 - P(D^+) = 0,998 $ (probabilidade de não estar infectado).
- $ P(T^+ \mid D^+) = 0,90 $ (probabilidade do teste dar positivo se a pessoa está infectada).
- $ P(T^- \mid D^-) = 0,95 $ (probabilidade do teste dar negativo se a pessoa não está infectada).
Passo 3
Vamos calcular a probabilidade de o teste dar positivo, $ P(T^+) $, usando a regra da probabilidade total:
Mas antes, precisamos encontrar $ P(T^+ \mid D^-) $, que é a probabilidade de um falso positivo. Como $ P(T^- \mid D^-) = 0,95 $, então:
Passo 4
Agora, substituindo os valores na fórmula:
Então, $ P(T^+) = 0,0517 $ ou 5,17%.
Passo 5
Para encontrar $ P(T^-) $, podemos usar que a soma das probabilidades é 1:
Portanto, $ P(T^-) = 0,9483 $ ou 94,83%.
Resposta
A probabilidade do teste dar positivo é de 5,17% e a probabilidade do teste dar negativo é de 94,83%.