(ESA - 1992) Marcelo resolveu corretamente 90 % das questo̊es da prova e André 70 % Se nenhuma questão da prova ficou sem ser resolvida pelo menos por um deles, e 18 delas foram resolvidas corretamente pelos dois podemos concluir que a prova constava de:
a) 148 questões
b) 100 questōes
c) 50 questōes
d) 30 questōes
e) 20 questōes

Passo 1

Então, o enunciado fala sobre Marcelo e André que resolveram uma prova. Marcelo acertou 90% das questões e André 70%. Sabemos também que todas as questões foram resolvidas por pelo menos um deles e que 18 questões foram acertadas por ambos. Vamos usar conceitos de porcentagem e conjuntos para descobrir quantas questões tinha a prova.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar o total de questões da prova de .
  • Marcelo resolveu das questões: .
  • André resolveu das questões: .

Passo 3

Sabemos que nenhuma questão ficou sem ser resolvida por pelo menos um deles, o que significa que a união das questões resolvidas por Marcelo e André cobre todas as questões da prova. Usamos a fórmula da união de dois conjuntos:
|M cup A| = |M| + |A| - |M cap A|
Onde:
  • (todas as questões foram resolvidas por pelo menos um)
  • (questões resolvidas por ambos)

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula:
N = 0,9N + 0,7N - 18

Passo 5

Simplificando a equação:
N = 1,6N - 18
Subtraindo N - 1,6N = -18 de ambos os lados:
-0,6N = -18

Passo 6

Dividindo ambos os lados por N = -18-0,6 = 30 :

Resposta

A prova constava de 30 questões.

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