Em um porto de difícil acesso, a capacidade máxima de navios que podem ser recebidos em um dia é 4. A solicitação de atracação é negada apenas quando o porto está com a lotação máxima. Um funcionário notou que o número diário de navios que solicitam atracação segue uma distribuição de Poisson. Ao analisar seus registros, o funcionário calculou que, em um dia qualquer, o número esperado de solicitações de atracação é 3. A partir dessas informações, responda.
(a) Em um dia qualquer, qual é a probabilidade de que pelo menos 1 navio tenha sua solicitação de atracação negada?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem um porto que só pode receber até 4 navios por dia. Se já tiver 4 navios atracados, qualquer pedido novo de atracação é negado. O número de pedidos de atracação por dia segue uma distribuição de Poisson, e a média de pedidos é 3 por dia. Nosso objetivo aqui é descobrir a probabilidade de, em um dia qualquer, pelo menos 1 navio ter o pedido de atracação negado. Vamos precisar usar conceitos de distribuição de Poisson e um pouquinho de probabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a distribuição de Poisson. Ela é usada para modelar o número de eventos que acontecem em um intervalo fixo de tempo ou espaço, quando esses eventos ocorrem com uma taxa constante e de forma independente entre si. A fórmula da distribuição de Poisson é:
P(k) = lambda^k e^-lambdak!
Onde:
  • $ P(k) $ é a probabilidade de ocorrer exatamente $ k $ eventos.
  • $ \lambda $ é o número médio de eventos no intervalo (neste caso, 3 pedidos por dia).
  • $ e $ é a base dos logaritmos naturais (aproximadamente 2,71828).
  • $ k! $ é o fatorial de $ k $.

Passo 3

Agora, a gente precisa calcular a probabilidade de que pelo menos 1 navio tenha sua solicitação negada. Isso ocorre quando o número de pedidos de atracação excede a capacidade do porto, que é 4. Ou seja, queremos $ P(k \geq 5) $.
Mas lembrar que calcular $ P(k \geq 5) $ diretamente pode ser complicado. Em vez disso, podemos calcular a probabilidade complementar, ou seja, a probabilidade de que no máximo 4 navios peçam atracação ($ P(k \leq 4) $) e então subtrair esse valor de 1.
Então:
P(k >= 5)

Passo 4

Vamos calcular $ P(k \leq 4) $, que é a soma das probabilidades de ocorrerem 0, 1, 2, 3 ou 4 pedidos de atracação.
Usando a fórmula de Poisson:
P(k <= 4)
Vamos calcular cada termo individualmente:
  • Para $ k = 0 $:
P(k <= 4) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4)
  • Para $ k = 1 $:
k = 0
  • Para $ k = 2 $:
P(0) = 3^0 e^-30! = e^-3 approx 0,0498
  • Para $ k = 3 $:
k = 1
  • Para $ k = 4 $:
P(1) = 3^1 e^-31! = 3e^-3 approx 0,1494

Passo 5

Agora, somamos todas essas probabilidades:
P(k <= 4) = 0,0498 + 0,1494 + 0,2240 + 0,2240 + 0,1680 = 0,8152

Passo 6

Finalmente, calculamos a probabilidade de pelo menos 1 navio ter sua solicitação negada:
P(k >= 5) = 1 - P(k <= 4) = 1 - 0,8152 = 0,1848

Resposta

A probabilidade de que, em um dia qualquer, pelo menos 1 navio tenha sua solicitação de atracação negada é de aproximadamente 18,48%.

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