Em um porto de difícil acesso, a capacidade máxima de navios que podem ser recebidos em um dia é 4. A solicitação de atracação é negada apenas quando o porto está com a lotação máxima. Um funcionário notou que o número diário de navios que solicitam atracação segue uma distribuição de Poisson. Ao analisar seus registros, o funcionário calculou que, em um dia qualquer, o número esperado de solicitações de atracação é 3. A partir dessas informações, responda.
(a) Em um dia qualquer, qual é a probabilidade de que pelo menos 1 navio tenha sua solicitação de atracação negada?
(a) Em um dia qualquer, qual é a probabilidade de que pelo menos 1 navio tenha sua solicitação de atracação negada?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem um porto que só pode receber até 4 navios por dia. Se já tiver 4 navios atracados, qualquer pedido novo de atracação é negado. O número de pedidos de atracação por dia segue uma distribuição de Poisson, e a média de pedidos é 3 por dia. Nosso objetivo aqui é descobrir a probabilidade de, em um dia qualquer, pelo menos 1 navio ter o pedido de atracação negado. Vamos precisar usar conceitos de distribuição de Poisson e um pouquinho de probabilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a distribuição de Poisson. Ela é usada para modelar o número de eventos que acontecem em um intervalo fixo de tempo ou espaço, quando esses eventos ocorrem com uma taxa constante e de forma independente entre si. A fórmula da distribuição de Poisson é:
Onde:
- $ P(k) $ é a probabilidade de ocorrer exatamente $ k $ eventos.
- $ \lambda $ é o número médio de eventos no intervalo (neste caso, 3 pedidos por dia).
- $ e $ é a base dos logaritmos naturais (aproximadamente 2,71828).
- $ k! $ é o fatorial de $ k $.
Passo 3
Agora, a gente precisa calcular a probabilidade de que pelo menos 1 navio tenha sua solicitação negada. Isso ocorre quando o número de pedidos de atracação excede a capacidade do porto, que é 4. Ou seja, queremos $ P(k \geq 5) $.
Mas lembrar que calcular $ P(k \geq 5) $ diretamente pode ser complicado. Em vez disso, podemos calcular a probabilidade complementar, ou seja, a probabilidade de que no máximo 4 navios peçam atracação ($ P(k \leq 4) $) e então subtrair esse valor de 1.
Então:
Passo 4
Vamos calcular $ P(k \leq 4) $, que é a soma das probabilidades de ocorrerem 0, 1, 2, 3 ou 4 pedidos de atracação.
Usando a fórmula de Poisson:
Vamos calcular cada termo individualmente:
- Para $ k = 0 $:
- Para $ k = 1 $:
- Para $ k = 2 $:
- Para $ k = 3 $:
- Para $ k = 4 $:
Passo 5
Agora, somamos todas essas probabilidades:
Passo 6
Finalmente, calculamos a probabilidade de pelo menos 1 navio ter sua solicitação negada:
Resposta
A probabilidade de que, em um dia qualquer, pelo menos 1 navio tenha sua solicitação de atracação negada é de aproximadamente 18,48%.