Considere o desempenho de um teste T destinado a diagnosticar a presença de infecção pelo vírus HIV. Admita que: A probabilidade de que o resultado do teste seja positivo dado que a pessoa está infectada é 0,90, P(T^+ mid D^+); A probabilidade de que o resultado do teste seja negativo dado que a pessoa não está infectada é 0,95, P(T^- mid D^-). Em uma população formada somente por doadores de sangue, apenas uma em cada quinhentas pessoas está infectado pelo vírus. Suponha que foi sorteada ao acaso uma pessoa dessa população e que ela será submetida ao teste T. Calcule a probabilidade de que:
(b) A pessoa esteja infectada pelo HIV, dado que o resultado do teste foi positivo, P(D^+ mid T^+);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a probabilidade de uma pessoa estar infectada pelo HIV, dado que ela fez um teste que deu positivo. A matéria envolvida aqui é Probabilidade Condicional e o Teorema de Bayes. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular probabilidades condicionais usando esses conceitos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as informações que temos:
  • Probabilidade do teste dar positivo se a pessoa está infectada: $ P(T^{+} \mid D^{+}) = 0,90 $
  • Probabilidade do teste dar negativo se a pessoa não está infectada: $ P(T^{-} \mid D^{-}) = 0,95 $
  • Probabilidade de uma pessoa estar infectada na população: $ P(D^{+}) = \frac{1}{500} = 0,002 $
  • Probabilidade de uma pessoa não estar infectada: $ P(D^{-}) = 1 - P(D^{+}) = 0,998 $

Passo 3

Agora, queremos encontrar $ P(D^{+} \mid T^{+}) $, ou seja, a probabilidade de a pessoa estar infectada dado que o teste foi positivo. Para isso, vamos usar o Teorema de Bayes, que relaciona essas probabilidades condicionais.
O Teorema de Bayes é dado por:
P(D^+ mid T^+)

Passo 4

Primeiro, precisamos calcular $ P(T^{+}) $, que é a probabilidade de o teste dar positivo em geral. Isso considera duas possibilidades:
  1. A pessoa está infectada e o teste acertou (verdadeiro positivo).
  2. A pessoa não está infectada, mas o teste deu falso positivo.
Então,
P(T^+)
Sabemos que $ P(T^{+} \mid D^{-}) = 1 - P(T^{-} \mid D^{-}) = 1 - 0,95 = 0,05 $.

Passo 5

Vamos calcular $ P(T^{+}) $:
P(T^+)

Passo 6

Agora, usando o Teorema de Bayes:
P(D^+ mid T^+) = 0,90 cdot 0,0020,0517 = 0,00180,0517 approx 0,0348

Resposta

A probabilidade de que a pessoa esteja infectada pelo HIV, dado que o teste foi positivo, é aproximadamente 3,48%.

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