Considere o desempenho de um teste T destinado a diagnosticar a presença de infecção pelo vírus HIV. Admita que: A probabilidade de que o resultado do teste seja positivo dado que a pessoa está infectada é
; A probabilidade de que o resultado do teste seja negativo dado que a pessoa não está infectada é
. Em uma população formada somente por doadores de sangue, apenas uma em cada quinhentas pessoas está infectado pelo vírus. Suponha que foi sorteada ao acaso uma pessoa dessa população e que ela será submetida ao teste T. Calcule a probabilidade de que:
(b) A pessoa esteja infectada pelo HIV, dado que o resultado do teste foi positivo,
;
(b) A pessoa esteja infectada pelo HIV, dado que o resultado do teste foi positivo,
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a probabilidade de uma pessoa estar infectada pelo HIV, dado que ela fez um teste que deu positivo. A matéria envolvida aqui é Probabilidade Condicional e o Teorema de Bayes. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular probabilidades condicionais usando esses conceitos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as informações que temos:
- Probabilidade do teste dar positivo se a pessoa está infectada: $ P(T^{+} \mid D^{+}) = 0,90 $
- Probabilidade do teste dar negativo se a pessoa não está infectada: $ P(T^{-} \mid D^{-}) = 0,95 $
- Probabilidade de uma pessoa estar infectada na população: $ P(D^{+}) = \frac{1}{500} = 0,002 $
- Probabilidade de uma pessoa não estar infectada: $ P(D^{-}) = 1 - P(D^{+}) = 0,998 $
Passo 3
Agora, queremos encontrar $ P(D^{+} \mid T^{+}) $, ou seja, a probabilidade de a pessoa estar infectada dado que o teste foi positivo. Para isso, vamos usar o Teorema de Bayes, que relaciona essas probabilidades condicionais.
O Teorema de Bayes é dado por:
Passo 4
Primeiro, precisamos calcular $ P(T^{+}) $, que é a probabilidade de o teste dar positivo em geral. Isso considera duas possibilidades:
- A pessoa está infectada e o teste acertou (verdadeiro positivo).
- A pessoa não está infectada, mas o teste deu falso positivo.
Então,
Sabemos que $ P(T^{+} \mid D^{-}) = 1 - P(T^{-} \mid D^{-}) = 1 - 0,95 = 0,05 $.
Passo 5
Vamos calcular $ P(T^{+}) $:
Passo 6
Agora, usando o Teorema de Bayes:
Resposta
A probabilidade de que a pessoa esteja infectada pelo HIV, dado que o teste foi positivo, é aproximadamente 3,48%.