Considere o desempenho de um teste T destinado a diagnosticar a presença de infecção pelo vírus HIV. Admita que: A probabilidade de que o resultado do teste seja positivo dado que a pessoa está infectada é
; A probabilidade de que o resultado do teste seja negativo dado que a pessoa não está infectada é
. Em uma população formada somente por doadores de sangue, apenas uma em cada quinhentas pessoas está infectado pelo vírus. Suponha que foi sorteada ao acaso uma pessoa dessa população e que ela será submetida ao teste T. Calcule a probabilidade de que:
© A pessoa não esteja infectada pelo HIV, dado que o resultado do teste foi negativo,
.
© A pessoa não esteja infectada pelo HIV, dado que o resultado do teste foi negativo,
Passo 1
Vamos resolver um problema sobre diagnóstico de infecção pelo HIV usando probabilidades. O que precisamos aqui é entender como calcular a probabilidade de uma pessoa não estar infectada dado que o teste dela foi negativo, ou seja,
. Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade condicional e o Teorema de Bayes.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as informações que temos:
- Probabilidade do teste dar positivo se a pessoa está infectada:
. - Probabilidade do teste dar negativo se a pessoa não está infectada:
. - Probabilidade de uma pessoa estar infectada na população:
. - Assim, a probabilidade de uma pessoa não estar infectada é
.
Passo 3
Vamos usar o Teorema de Bayes para encontrar
. A fórmula do Teorema de Bayes é:
Passo 4
Precisamos calcular
, que é a probabilidade de o teste dar negativo de uma forma geral. Isso pode acontecer de duas maneiras:
- A pessoa não está infectada e o teste deu negativo.
- A pessoa está infectada, mas o teste deu negativo (falso negativo).
Então,
Sabemos que
.
Passo 5
Agora, substituindo os valores:
Passo 6
Finalmente, aplicamos o Teorema de Bayes:
Resposta
A probabilidade de que a pessoa não esteja infectada pelo HIV, dado que o teste foi negativo, é aproximadamente 99,98%.