Considere o desempenho de um teste T destinado a diagnosticar a presença de infecção pelo vírus HIV. Admita que: A probabilidade de que o resultado do teste seja positivo dado que a pessoa está infectada é 0,90, P(T^+ mid D^+); A probabilidade de que o resultado do teste seja negativo dado que a pessoa não está infectada é 0,95, P(T^- mid D^-). Em uma população formada somente por doadores de sangue, apenas uma em cada quinhentas pessoas está infectado pelo vírus. Suponha que foi sorteada ao acaso uma pessoa dessa população e que ela será submetida ao teste T. Calcule a probabilidade de que:
© A pessoa não esteja infectada pelo HIV, dado que o resultado do teste foi negativo, P(D^- mid T^-).

Passo 1

Vamos resolver um problema sobre diagnóstico de infecção pelo HIV usando probabilidades. O que precisamos aqui é entender como calcular a probabilidade de uma pessoa não estar infectada dado que o teste dela foi negativo, ou seja, P(D^- mid T^-). Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade condicional e o Teorema de Bayes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as informações que temos:
  • Probabilidade do teste dar positivo se a pessoa está infectada: P(T^+ mid D^+) = 0,90.
  • Probabilidade do teste dar negativo se a pessoa não está infectada: P(T^- mid D^-) = 0,95.
  • Probabilidade de uma pessoa estar infectada na população: P(D^+) = 1500 = 0,002.
  • Assim, a probabilidade de uma pessoa não estar infectada é P(D^-) = 1 - P(D^+) = 0,998.

Passo 3

Vamos usar o Teorema de Bayes para encontrar P(D^- mid T^-). A fórmula do Teorema de Bayes é:
P(D^- mid T^-) = P(T^- mid D^-) times P(D^-)P(T^-)

Passo 4

Precisamos calcular P(T^-), que é a probabilidade de o teste dar negativo de uma forma geral. Isso pode acontecer de duas maneiras:
  1. A pessoa não está infectada e o teste deu negativo.
  2. A pessoa está infectada, mas o teste deu negativo (falso negativo).
Então,
P(T^-) = P(T^- mid D^-) times P(D^-) + P(T^- mid D^+) times P(D^+)
Sabemos que P(T^- mid D^+) = 1 - P(T^+ mid D^+) = 1 - 0,90 = 0,10.

Passo 5

Agora, substituindo os valores:
P(T^-) = (0,95 times 0,998) + (0,10 times 0,002) = 0,9481 + 0,0002 = 0,9483

Passo 6

Finalmente, aplicamos o Teorema de Bayes:
P(D^- mid T^-) = 0,95 times 0,9980,9483 approx 0,94810,9483 approx 0,9998

Resposta

A probabilidade de que a pessoa não esteja infectada pelo HIV, dado que o teste foi negativo, é aproximadamente 99,98%.

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