Em um porto de difícil acesso, a capacidade máxima de navios que podem ser recebidos em um dia é 4. A solicitação de atracação é negada apenas quando o porto está com a lotação máxima. Um funcionário notou que o número diário de navios que solicitam atracação segue uma distribuição de Poisson. Ao analisar seus registros, o funcionário calculou que, em um dia qualquer, o número esperado de solicitações de atracação é 3. A partir dessas informações, responda.
(b) Em um dia qualquer, qual seria a quantidade de vagas no porto necessárias para que pelo menos 90 % das solicitações de atracação fossem atendidas?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está rolando nessa questão. Temos um porto que consegue receber até 4 navios por dia. Se chegar mais navios do que isso, os pedidos de atracação são negados. O número de pedidos de atracação segue uma distribuição de Poisson, que é uma forma de modelar eventos que acontecem de forma aleatória em um certo período. Aqui, o valor esperado (λ) é 3, ou seja, em média, 3 navios pedem para atracar por dia. A pergunta é: quantas vagas o porto precisa ter para garantir que pelo menos 90% dos pedidos de atracação sejam atendidos?

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a distribuição de Poisson. Ela nos diz a probabilidade de ocorrer um certo número de eventos em um intervalo fixo, dado que esses eventos acontecem com uma taxa média constante e de forma independente.
A fórmula da distribuição de Poisson é:
P(X = k) = e^-λ cdot λ^kk!
Onde:
  • $ P(X = k) $ é a probabilidade de ocorrer exatamente $ k $ eventos,
  • $ e $ é a base do logaritmo natural (~2.71828),
  • $ λ $ é o número médio de eventos (neste caso, 3),
  • $ k! $ é o fatorial de $ k $.

Passo 3

Para resolver o problema, precisamos encontrar o menor número de vagas $ N $ tal que a probabilidade de que no máximo $ N $ navios peçam atracação seja pelo menos 90%. Em termos matemáticos, queremos:
N
Isso significa que queremos acumular as probabilidades de $ k = 0 $ até $ k = N $ e encontrar o menor $ N $ que faz essa soma ser maior ou igual a 0.90.

Passo 4

Vamos calcular as probabilidades acumuladas para diferentes valores de $ N $, até que a soma atinja ou supere 90%.
Vamos começar com $ λ = 3 $:
  1. Para $ N = 3 $:
N
Calculando cada termo:
  • $ P(0) = \frac{e^{-3} \cdot 3^{0}}{0!} = e^{-3} \approx 0.0498 $
  • $ P(1) = \frac{e^{-3} \cdot 3^{1}}{1!} = 3e^{-3} \approx 0.1494 $
  • $ P(2) = \frac{e^{-3} \cdot 3^{2}}{2!} = \frac{9e^{-3}}{2} \approx 0.2240 $
  • $ P(3) = \frac{e^{-3} \cdot 3^{3}}{3!} = \frac{27e^{-3}}{6} \approx 0.2240 $
Somando:
λ = 3
Ainda abaixo de 90%.
  1. Para $ N = 4 $:
Adicionar $ P(4) $:
  • $ P(4) = \frac{e^{-3} \cdot 3^{4}}{4!} = \frac{81e^{-3}}{24} \approx 0.1680 $
Somando:
N = 3
Ainda abaixo de 90%.
  1. Para $ N = 5 $:
Adicionar $ P(5) $:
  • $ P(5) = \frac{e^{-3} \cdot 3^{5}}{5!} = \frac{243e^{-3}}{120} \approx 0.1008 $
Somando:
P(X <= 3) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3)
Agora, a soma é maior que 90%.

Resposta

Para garantir que pelo menos 90 % dos pedidos de atracação sejam atendidos, o porto precisa ter 5 vagas disponíveis.

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