Considere o desenvolvimento de \left[2 x \operatorname{sen}(a)+\frac{\cos (a)}{x}\right]^{2}, em que a \in \mathbf{R} e x \neq 0.
Determine os valores de a, pertencente ao intervalo ] \pi, 2 \pi[, para os quais o termo independente de x, neste anvolvimento, é igaul a 1. \qquad Sub-total 30 pontos

Passo 1

O enunciado pede que a gente expanda o quadrado
\bigl[2x\sin(a)+\tfrac{\cos(a)}{x}\bigr]^{2},
identifique o termo que não depende de x e imponha que esse termo seja igual a 1. Como a\in(\pi,2\pi) e x\neq0, vamos usar a expansão de (u+v)^2 = u^2 + 2uv + v^2.

Passo 2

Aplicando (u+v)^2 com u = 2x\sin(a) e v = \tfrac{\cos(a)}{x}, temos
\bigl(2x\sin(a)+\tfrac{\cos(a)}{x}\bigr)^2 = (2x\sin(a))^2 \;+\; 2\,(2x\sin(a))\Bigl(\tfrac{\cos(a)}{x}\Bigr) \;+\;\Bigl(\tfrac{\cos(a)}{x}\Bigr)^2.

Passo 3

Agora simplificamos cada termo:
(2x\sin(a))^2 = 4x^2\sin^2(a), \quad 2\,(2x\sin(a))\Bigl(\tfrac{\cos(a)}{x}\Bigr) = 4\sin(a)\cos(a), \quad \Bigl(\tfrac{\cos(a)}{x}\Bigr)^2 = \frac{\cos^2(a)}{x^2}.
O único que não depende de x é o segundo, isto é,
\text{termo independente} = 4\sin(a)\cos(a).

Passo 4

Impondo que esse termo valha 1, escrevemos
4\sin(a)\cos(a) = 1.
Usando a identidade de ângulo duplo \sin(2a) = 2\sin(a)\cos(a), a equação vira
2\sin(2a) = 1 \;\;\Longrightarrow\;\; \sin(2a) = \tfrac12.

Passo 5

Como a\in(\pi,2\pi), então 2a\in(2\pi,4\pi). As soluções gerais de \sin(\theta)=\tfrac12 são
\theta = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad\text{ou}\quad \theta = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi.
No intervalo \theta\in(2\pi,4\pi) só cabem
\theta = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6}, \quad \theta = \frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{17\pi}{6}.
Logo,
2a = \frac{13\pi}{6}\quad\Longrightarrow\quad a = \frac{13\pi}{12}, \qquad 2a = \frac{17\pi}{6}\quad\Longrightarrow\quad a = \frac{17\pi}{12}.

Resposta

\displaystyle a = \frac{13\pi}{12} ou \displaystyle a = \frac{17\pi}{12}.

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