Determine se as seguintes séries convergem ou divergem.
26.)
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln ^{2}(n)}{n^{3}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln^{2}(n)}{n^{3}}.
Esse é um problema de teste de convergência de séries de termos positivos. Vamos usar o Teste da Comparação, comparando com uma série p-série conhecida.

Passo 2

Para aplicar o Teste da Comparação, note que para n\ge 3 vale
\ln(n)<\sqrt{n} \quad\Longrightarrow\quad \ln^{2}(n)<n.
Logo, para n\ge 3,
\frac{\ln^{2}(n)}{n^{3}} <\frac{n}{n^{3}} =\frac{1}{n^{2}}.

Passo 3

Sabemos que a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}
é convergente (p-série com p=2>1). Como para n grande \frac{\ln^{2}(n)}{n^{3}}\le\frac{1}{n^{2}}
e todos os termos são positivos, pelo Teste da Comparação a série original também converge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln^{2}(n)}{n^{3}} converge.

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