QUESTÃO 3 (VALOR: 2,5) Encontre os limites quando x \rightarrow \infty e quando x \rightarrow-\infty. Use essa informação, bem como as intersecções com os eixos, para fazer um esboço do gráfico de
y=x^{2}-x^{4}

Passo 1

O enunciado pede o estudo da função
y = x^{2} - x^{4}
para encontrar
– os limites \displaystyle\lim_{x\to\infty}y e \displaystyle\lim_{x\to -\infty}y,
– as interseções com os eixos x e y,
e em seguida fazer um esboço do gráfico usando essas informações.

Passo 2

Para os limites em infinitos, observamos que o termo de maior grau em x é -x^{4}, que domina x^{2}. Logo:
\lim_{x\to\infty}(x^{2}-x^{4}) =\lim_{x\to\infty}\bigl(-x^{4}(1 - x^{-2})\bigr)=-\infty,
\lim_{x\to -\infty}(x^{2}-x^{4}) =\lim_{x\to -\infty}\bigl(-x^{4}(1 - x^{-2})\bigr)=-\infty.

Passo 3

Interseções com o eixo y: basta x=0, então
y(0)=0^{2}-0^{4}=0.
Interseções com o eixo x: resolver y=0, isto é
x^{2}-x^{4}=0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}(1 - x^{2})=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0,\;\pm1.

Passo 4

Para enriquecer o esboço, achamos os pontos críticos via derivada:
y' = \frac{d}{dx}(x^{2}-x^{4}) = 2x - 4x^{3} = 2x(1 - 2x^{2}).
Zerando y':
2x(1 - 2x^{2})=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0,\;\pm\frac{1}{\sqrt{2}}.
Valores de y nesses pontos:
y\Bigl(\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigr) =\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}, \quad y(0)=0.
Analisando y''=2-12x^{2}, vemos que x=0 é mínimo local e x=\pm\frac1{\sqrt2} são máximos locais.

Passo 5

Agora temos:
– Tendência para -\infty em ambos os extremos.
– Cruzamentos em x=-1,0,1.
– Mínimo local em (0,0).
– Máximos locais em \bigl(\pm\frac1{\sqrt2},\tfrac14\bigr).
– A função é par (simétrica em relação ao eixo y).
Com isso, podemos desenhar:
– Começando em -\infty, sobe até o máximo \bigl(-\tfrac1{\sqrt2},\tfrac14\bigr), desce até o mínimo (0,0), sobe de novo até \bigl(\tfrac1{\sqrt2},\tfrac14\bigr) e finalmente cai para -\infty quando x\to\infty.

Resposta

O gráfico é uma curva em “colina–vale–colina” simétrica, com limites -\infty em \pm\infty, interceptos em (-1,0), (0,0), (1,0), mínimo local em (0,0) e máximos locais em \bigl(\pm\tfrac1{\sqrt2},\tfrac14\bigr).

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