QUESTÃO 3 (VALOR: 2,5) Encontre os limites quando
e quando
. Use essa informação, bem como as intersecções com os eixos, para fazer um esboço do gráfico de
Passo 1
O enunciado pede o estudo da função
para encontrar
– os limites e
,
– as interseções com os eixos e
,
e em seguida fazer um esboço do gráfico usando essas informações.
– os limites
– as interseções com os eixos
e em seguida fazer um esboço do gráfico usando essas informações.
Passo 2
Para os limites em infinitos, observamos que o termo de maior grau em
é
, que domina
. Logo:
Passo 3
Interseções com o eixo
: basta
, então
Interseções com o eixo
: resolver
, isto é
Passo 4
Para enriquecer o esboço, achamos os pontos críticos via derivada:
Zerando
:
Valores de
nesses pontos:
Analisando
, vemos que
é mínimo local e
são máximos locais.
Passo 5
Agora temos:
– Tendência para em ambos os extremos.
– Cruzamentos em .
– Mínimo local em .
– Máximos locais em .
– A função é par (simétrica em relação ao eixo ).
– Tendência para
– Cruzamentos em
– Mínimo local em
– Máximos locais em
– A função é par (simétrica em relação ao eixo
Com isso, podemos desenhar:
– Começando em , sobe até o máximo
, desce até o mínimo
, sobe de novo até
e finalmente cai para
quando
.
– Começando em
Resposta
O gráfico é uma curva em “colina–vale–colina” simétrica, com limites
em
, interceptos em
,
,
, mínimo local em
e máximos locais em
.