Considere
M=(cc 1 & 2 0 & -1 )
Determinar a matriz do operador linear T: M2(R) M2(R) dado por T(X)=M X-X M, X in M2(R) em relação à base canônica de M2(R).

Passo 1

O operador linear Tcolon M2(R)to M2(R) é dado por
T(X)=M,X - X,M,
onde
M = 1 & 2[6pt]0 & -1
Queremos a matriz de T na base canônica
E11,E12,E21,E22, onde Eij é a matriz com 1 na posição (i,j) e zeros nos demais lugares.
O procedimento é: aplicar T a cada Eij, escrever o resultado como combinação linear da base e extrair as coordenadas que serão as colunas da matriz de T.]

Passo 2

Calcular T(E11).
M,E11 = 1&20&-1 1&00&0 = 1&00&0,
E11,M = 1&00&0 1&20&-1 = 1&20&0,
T(E11) = 1&00&0 - 1&20&0 = 0&-20&0 = -2,E12
Logo, em coordenadas na base canônica,
l[T(E11)r] = (0,,-2,,0,,0)^T

Passo 3

Calcular T(E12).
M,E12 = 1&20&-1 0&10&0 = 0&10&0,
E12,M = 0&10&0 1&20&-1 = 0&-10&0,
T(E12) = 0&10&0 - 0&-10&0 = 0&20&0 = 2,E12
Em coordenadas,
l[T(E12)r] = (0,,2,,0,,0)^T

Passo 4

Calcular T(E21).
M,E21 = 1&20&-1 0&01&0 = 2&0-1&0,
E21,M = 0&01&0 1&20&-1 = 0&01&2,
T(E21) = 2&0-1&0 - 0&01&2 = 2&0-2&-2 = 2,E11 ;-;2,E21;-;2,E22
Em coordenadas,
l[T(E21)r] = (2,,0,,-2,,-2)^T

Passo 5

Calcular T(E22).
M,E22 = 1&20&-1 0&00&1 = 0&20&-1,
E22,M = 0&00&1 1&20&-1 = 0&00&-1,
T(E22) = 0&20&-1 - 0&00&-1 = 0&20&0 = 2,E12
Em coordenadas,
l[T(E22)r] = (0,,2,,0,,0)^T

Passo 6

Agora montamos a matriz de T cujas colunas são as coordenadas de T(E11),T(E12),T(E21),T(E22). Assim, na base E11,E12,E21,E22,
[T] = 0 & 0 & 2 & 0 -2& 2 & 0 & 2 0 & 0 & -2& 0 0 & 0 & -2& 0

Resposta

[T]E11,E12,E21,E22 = 0 & 0 & 2 & 0 -2& 2 & 0 & 2 0 & 0 & -2& 0 0 & 0 & -2& 0

Exercícios relacionados