Considere a função f(x, y)=3 raizx^2+y^2-x y.
Determine nabla f.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=3raizx^2+y^2-x,y
e pede o gradiente nabla f. O conteúdo da matéria é derivadas parciais e uso das regras da cadeia e do produto para funções de duas variáveis.

Passo 2

Para obter partial fpartial x aplicamos a regra da cadeia na parte 3raizx^2+y^2 e a regra do produto em -x,y. Primeiro,
partialpartial xl(raizx^2+y^2r) =12raizx^2+y^2cdot 2x =xraizx^2+y^2
Multiplicando por 3 3,x/raizx^2+y^2. Em seguida,
partialpartial x(-x,y)=-y
Somando as partes,
partial fpartial x =3xraizx^2+y^2-y

Passo 3

Para obter partial fpartial y repetimos o processo trocando x por y. Da parte radical,
partialpartial yl(raizx^2+y^2r) =yraizx^2+y^2,
logo multiplicando por 3 resulta 3,y/raizx^2+y^2. E da parte -x,y,
partialpartial y(-x,y)=-x
Somando,
partial fpartial y =3yraizx^2+y^2-x

Resposta

nabla f(x,y) =l(,3xraizx^2+y^2-y,;3yraizx^2+y^2-xr)

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