Considere a função f(x, y)=3 raizx^2+y^2-x y.
Determine partial fpartial u(2,1), onde u=(12, raiz32).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=3raizx^2+y^2-x,y
e pede a derivada direcional de f no ponto (2,1) na direção do vetor unitário
u=l(tfrac12,tfracraiz32r).
Para isso, vamos usar que a derivada direcional é o produto escalar entre o gradiente de f e u:
dfracpartial fpartialu(2,1)=nabla f(2,1)cdotu.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de f. Como
raizx^2+y^2=(x^2+y^2)^1/2, usamos a regra da cadeia:
partial fpartial x =3cdot12,(x^2+y^2)^-1/2cdot2x;-;y =3xraizx^2+y^2-y,
partial fpartial y =3cdot12,(x^2+y^2)^-1/2cdot2y;-;x =3yraizx^2+y^2-x

Passo 3

Agora avaliaremos essas derivadas no ponto (2,1). Primeiro note que
raiz2^2+1^2=raiz5.
Então
partial fpartial x(2,1) =3cdot2raiz5-1 =6raiz5-1,
partial fpartial y(2,1) =3cdot1raiz5-2 =3raiz5-2
Portanto
nabla f(2,1)=l(tfrac6raiz5-1,;tfrac3raiz5-2r).

Passo 4

Finalmente calculamos o produto escalar com u=(tfrac12,tfracraiz32):
partial fpartialu(2,1) =l(6raiz5-1r)12 +l(3raiz5-2r)raiz32
Juntando os termos temos
partial fpartialu(2,1) =3raiz5-12 +3raiz32raiz5 -raiz3 =3(2+raiz3)2raiz5 -1+2raiz32

Resposta

partial fpartialu(2,1) =3(2+raiz3)2raiz5 -1+2raiz32 approx0,27

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