Considere
. Determine
:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a função
cuja transformada de Laplace é dada por:
A matéria envolvida aqui é a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais e problemas em engenharia e física. Para resolver isso, vamos precisar desmembrar essa expressão em frações parciais e depois usar as propriedades inversas da Transformada de Laplace.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na primeira parte de
:
Para simplificar isso, vamos usar a técnica de frações parciais. A ideia é quebrar essa expressão em partes menores que a gente sabe transformar de volta para o tempo.
Assumimos que:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os valores de
,
,
e
. Para isso, multiplicamos ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Vamos escolher valores específicos de
para facilitar:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Para encontrar
, vamos comparar os coeficientes dos termos de maior grau:
Passo 4
Com os valores de
,
,
e
determinados, podemos reescrever a primeira parte de
:
Passo 5
Agora, vamos tratar da segunda parte de
:
Também aplicamos frações parciais aqui:
Multiplicando ambos os lados por
e escolhendo valores para
:
- Para
:
- Para
:
Então:
Passo 6
Agora, juntamos todas as partes de
:
Simplificando os coeficientes:
Então:
Passo 7
Agora, aplicamos a Transformada de Laplace inversa em cada termo:
Aplicando isso:
Resposta
A função
é dada por: