Considere L(f)(s)=F(s). Determine f(t) :
F(s)=2s^2(s-12)(s+3)+3(s-12)(s+3).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a função f(t) cuja transformada de Laplace é dada por:
F(s) = 2s^2(s-12)(s+3) + 3(s-12)(s+3)
A matéria envolvida aqui é a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais e problemas em engenharia e física. Para resolver isso, vamos precisar desmembrar essa expressão em frações parciais e depois usar as propriedades inversas da Transformada de Laplace.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na primeira parte de F(s) :
2s^2(s-12)(s+3)
Para simplificar isso, vamos usar a técnica de frações parciais. A ideia é quebrar essa expressão em partes menores que a gente sabe transformar de volta para o tempo.
Assumimos que:
2s^2(s-12)(s+3) = As + Bs^2 + Cs-12 + Ds+3

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores de A , B , C e D . Para isso, multiplicamos ambos os lados por s^2(s-12)(s+3) para eliminar os denominadores:
2 = A cdot s cdot (s-12)(s+3) + B cdot (s-12)(s+3) + C cdot s^2(s+3) + D cdot s^2(s-12)
Vamos escolher valores específicos de s para facilitar:
  • Para s = 0 :
2 = B cdot (-12) cdot 3 Rightarrow B = -236 = -118
  • Para s = 12 :
2 = C cdot 144 cdot 15 Rightarrow C = 22160 = 11080
  • Para s = -3 :
2 = D cdot 9 cdot (-15) Rightarrow D = -2135
Para encontrar A , vamos comparar os coeficientes dos termos de maior grau:
A + C + D = 0 Rightarrow A = -( C + D ) = -( 11080 - 2135 ) = 172

Passo 4

Com os valores de A , B , C e D determinados, podemos reescrever a primeira parte de F(s) :
2s^2(s-12)(s+3) = 172 cdot 1s - 118 cdot 1s^2 + 11080 cdot 1s-12 - 2135 cdot 1s+3

Passo 5

Agora, vamos tratar da segunda parte de F(s) :
3(s-12)(s+3)
Também aplicamos frações parciais aqui:
3(s-12)(s+3) = Es-12 + Fs+3
Multiplicando ambos os lados por (s-12)(s+3) e escolhendo valores para s :
  • Para s = 12 :
3 = E cdot 15 Rightarrow E = 15
  • Para s = -3 :
3 = F cdot (-15) Rightarrow F = -15
Então:
3(s-12)(s+3) = 15 cdot 1s-12 - 15 cdot 1s+3

Passo 6

Agora, juntamos todas as partes de F(s) :
F(s) = 172 cdot 1s - 118 cdot 1s^2 + ( 11080 + 15 ) cdot 1s-12 + ( -2135 - 15 ) cdot 1s+3
Simplificando os coeficientes:
11080 + 15 = 2171080
-2135 - 15 = -29135
Então:
F(s) = 172 cdot 1s - 118 cdot 1s^2 + 2171080 cdot 1s-12 - 29135 cdot 1s+3

Passo 7

Agora, aplicamos a Transformada de Laplace inversa em cada termo:
  • L^-1(1s) = 1
  • L^-1(1s^2) = t
  • L^-1(1s-a) = e^at
Aplicando isso:
f(t) = 172 cdot 1 - 118 cdot t + 2171080 cdot e^12t - 29135 cdot e^-3t

Resposta

A função f(t) é dada por:
f(t) = 172 - 118 t + 2171080 e^12 t - 29135 e^-3 t

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