Mostre que:
r times d rd t=C se d^2 rd t^2=f(r) r

Passo 1

O enunciado nos dá um vetor posição r(t) que satisfaz
d^2rdt^2=f(r),r,
onde f(r) é um escalar que depende apenas de r=|r|. Queremos mostrar que
rtimes dotr
é um vetor constante, ou seja, igual a algum C. Para isso usamos cálculo vetorial e a regra de derivação do produto vetorial.

Passo 2

Começamos calculando a derivada temporal de rtimes dotr. Pela regra do produto vetorial:
ddtl(rtimes dotrr) =dotrtimes dotr+rtimes ddotr

Passo 3

Observamos que dotrtimes dotr=0, pois o produto vetorial de um vetor por ele mesmo é sempre zero. Logo
ddtl(rtimes dotrr) =rtimes ddotr

Passo 4

Substituindo ddotr=f(r),r no resultado acima, vem
rtimes ddotr =rtimes l(f(r),rr) =f(r),l(rtimes rr) =0,
já que rtimes r=0.

Passo 5

Como ddtl(rtimes dotrr)=0, concluímos que
rtimes dotr
é constante ao longo do movimento. Chamando essa constante de C, temos
rtimes dotr=C

Resposta

rtimes dfracdrdt=C

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