Considere L(f)(s)=F(s). Determine f(t) :
F(s)=2(s-2)(s^2+5)

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
F(s)=2(s-2)l(s^2+5r),
ou seja, encontrar f(t) tal que Lf(s)=F(s). Vamos usar a técnica de decomposição em frações parciais e depois aplicar fórmulas conhecidas de transformadas inversas (para e^at, cos(bt) e sin(bt)).

Passo 2

Fazemos a decomposição em frações parciais
2(s-2)(s^2+5) =As-2+B,s+Cs^2+5
Multiplicando ambos os lados por (s-2)(s^2+5), obtemos
2 = A,(s^2+5)+(B,s+C),(s-2)
Expandindo,
2 = A,s^2+5A + B,s^2 -2B,s + C,s -2C = (A+B),s^2 +(-2B+C),s + (5A-2C)

Passo 3

Igualamos coeficientes de cada potência de
Da segunda equação . Substituindo em :
Logo e .

Passo 4

Substituindo na decomposição:
F(s) =tfrac29s-2 +-tfrac29,s -tfrac49s^2+5 =29,1s-2 -29,ss^2+5 -49,1s^2+5
Aplicando as transformadas inversas conhecidas:
L^-1!ltfrac1s-2r=e^2t, L^-1!ltfracss^2+5r=cosl(raiz5,tr), L^-1!ltfrac1s^2+5r=1raiz5sinl(raiz5,tr)
Portanto,
f(t) =29e^2t -29cosl(raiz5,tr) -49cdot1raiz5sinl(raiz5,tr)

Resposta

f(t) =29,e^2t -29,cosl(raiz5,tr) -49raiz5,sinl(raiz5,tr)

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