O torque tau de uma força F com respeito a um ponto O é dado pela expressão
tau=r times F
em que r é o vetor de posição ao ponto inicial do vetor F em relação a O. A projeção de tau em um eixo u passando por O, i.e., a quantidade
tauu=tau cdot u=(r times F) cdot u
em que u é um vetor unitário na direção do eixo u, é chamada de torque de F com relação ao eixo u. Prove que tauu é independente da posição de O em u.

Passo 1

O enunciado define o torque em relação a um ponto O por
tau = rtimesF,
e sua projeção ao longo de um eixo definido pelo vetor unitário u por
tauu = taucdotu = (rtimesF)cdotu
Queremos mostrar que, se deslocarmos o ponto O ao longo da direção u, o valor de tauu não muda. Para isso usaremos as propriedades do produto vetorial e do produto misto (triple product).

Passo 2

Suponha que o novo ponto de referência O' esteja deslocado de O por um vetor
a = d,u,
com d escalar qualquer. Então o vetor posição do ponto de aplicação da força em relação a O' é
r' = r - a
O novo torque projetado em u fica
tau'u = (r'timesF)cdotu

Passo 3

Expandindo o torque em O' usando linearidade do produto vetorial, temos
(r'timesF)cdotu = l((r-a)timesFr)cdotu = (rtimesF)cdotu ;-; (atimesF)cdotu
Ou seja,
tau'u = tauu ;-; (atimesF)cdotu

Passo 4

Note que (atimesF)cdotu é um produto misto, que satisfaz
(atimesF)cdotu = acdot(Ftimesu)
Mas a=d,u, logo
acdot(Ftimesu) = d,ucdot(Ftimesu) = d,l(ucdot(Ftimesu)r)
Em qualquer produto misto ucdot(Ftimesu), dois vetores são iguais ( u aparece duas vezes), e isso força o resultado a zero. Portanto
(atimesF)cdotu = 0

Passo 5

Substituindo esse resultado em tau'u = tauu - (atimesF)cdotu, concluímos
tau'u = tauu
Ou seja, a projeção do torque no eixo u não depende de deslocar a origem O ao longo dessa direção.

Resposta

A projeção do torque tauu=(rtimesF)cdotu é invariante sob deslocamentos de O ao longo do eixo definido por u.

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