O torque
de uma força
com respeito a um ponto
é dado pela expressão
em que
é o vetor de posição ao ponto inicial do vetor
em relação a
. A projeção de
em um eixo
passando por
, i.e., a quantidade
em que u é um vetor unitário na direção do eixo
, é chamada de torque de
com relação ao eixo
. Prove que
é independente da posição de
em
.
Passo 1
O enunciado define o torque em relação a um ponto
por
e sua projeção ao longo de um eixo definido pelo vetor unitário
por
Queremos mostrar que, se deslocarmos o ponto
ao longo da direção
, o valor de
não muda. Para isso usaremos as propriedades do produto vetorial e do produto misto (triple product).
Passo 2
Suponha que o novo ponto de referência
esteja deslocado de
por um vetor
com
escalar qualquer. Então o vetor posição do ponto de aplicação da força em relação a
é
O novo torque projetado em
fica
Passo 3
Expandindo o torque em
usando linearidade do produto vetorial, temos
Ou seja,
Passo 4
Note que
é um produto misto, que satisfaz
Mas
, logo
Em qualquer produto misto
, dois vetores são iguais (
aparece duas vezes), e isso força o resultado a zero. Portanto
Passo 5
Substituindo esse resultado em
, concluímos
Ou seja, a projeção do torque no eixo
não depende de deslocar a origem
ao longo dessa direção.
Resposta
A projeção do torque
é invariante sob deslocamentos de
ao longo do eixo definido por
.